Статика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00043205

Что происходит: к концам невесомого рычага на нитях подвешены грузы $m_1=1{,}28$ кг и $m_2=0{,}32$ кг, рычаг в равновесии, тяжёлый груз в $20$ см от опоры. Затем оба груза полностью погружают в воду, объём каждого $200\ \text{см}^3$. Равновесие нарушается; надо найти, на сколько сдвинуть опору, чтобы оно восстановилось.

Обоснование модели. Систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной. Рычаг — твёрдое тело, поворачивающееся вокруг опоры: условие равновесия — равенство нулю суммы моментов сил относительно опоры. Грузы — материальные точки в покое: сумма сил на каждый равна нулю. Нити невесомые и нерастяжимые: натяжение одинаково по длине нити и передаётся рычагу. Вода покоится — действует закон Архимеда.

Рисунок сил. До погружения на рычаг действуют натяжения нитей $m_1g$ и $m_2g$ (вниз) и реакция опоры (вверх). После: на каждый груз — сила тяжести вниз, сила Архимеда и натяжение нити вверх; на рычаг — натяжения $T_1=m_1g-F_{\text{А}}$, $T_2=m_2g-F_{\text{А}}$ и реакция новой опоры.

Шаг 1 — длина рычага. Из правила моментов $m_1gl_1=m_2gl_2$: $$l_2=\frac{m_1}{m_2}l_1=\frac{1{,}28}{0{,}32}\cdot20=4\cdot20=80\ \text{см},\qquad L=l_1+l_2=100\ \text{см}.$$

Шаг 2 — сила Архимеда. Грузы целиком в воде, поэтому вытесняют объём, равный своему: $$F_{\text{А}}=\rho_{\text{в}}gV=1000\cdot10\cdot200\cdot10^{-6}=2\ \text{Н}$$ на каждый. Натяжения нитей в воде: $T_1=12{,}8-2=10{,}8$ Н, $T_2=3{,}2-2=1{,}2$ Н.

Шаг 3 — новое положение опоры. Пусть теперь тяжёлый груз в $x$ от опоры, лёгкий — в $L-x$. Правило моментов: $$10{,}8x=1{,}2(100-x)\quad\Rightarrow\quad12x=120\quad\Rightarrow\quad x=10\ \text{см}.$$ Было $20$ см, стало $10$ см: опору нужно сдвинуть на $20-10=10$ см к тяжёлому грузу.

Проверим себя: в новом положении $10{,}8\cdot0{,}1=1{,}08$ Н·м и $1{,}2\cdot0{,}9=1{,}08$ Н·м — моменты равны. И направление логично: лёгкий груз потерял в воде большую часть веса, его конец «полегчал» сильнее, поэтому опору придвигаем к тяжёлому.