Статика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00043204

Что происходит: на концах невесомого рычага на нитях висят два груза, $m_1=1{,}28$ кг и $m_2=0{,}32$ кг, рычаг уравновешен. Потом оба груза целиком опускают в керосин — выталкивающие силы нарушают равновесие, и точку опоры приходится сдвинуть на $10$ см. Объём каждого груза $250\ \text{см}^3$. Нужно найти, где была опора вначале — расстояние от тяжёлого груза.

Обоснование модели. Систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной. Рычаг — твёрдое тело с точкой опоры, его равновесие — правило моментов: сумма моментов сил относительно опоры равна нулю. Грузы — материальные точки; каждый покоится, значит, сумма сил на него равна нулю, и натяжение нити равно весу груза в воздухе или «весу минус сила Архимеда» в жидкости. Нити невесомы и нерастяжимы — передают это натяжение рычагу.

Рисунок сил. Случай 1: на рычаг в точках подвеса действуют силы натяжения $T_1=m_1g$ и $T_2=m_2g$ вниз и реакция опоры вверх. Случай 2: на каждый груз — сила тяжести вниз, сила Архимеда $F_{\text{А}}$ и натяжение нити вверх; на рычаг — натяжения $T_1'=m_1g-F_{\text{А}}$, $T_2'=m_2g-F_{\text{А}}$ и реакция новой опоры.

Шаг 1 — первое равновесие. Пусть $l_1$ — плечо тяжёлого груза, $l_2$ — лёгкого, $L=l_1+l_2$ — длина рычага. Правило моментов: $m_1gl_1=m_2gl_2$, откуда $\dfrac{l_2}{l_1}=\dfrac{1{,}28}{0{,}32}=4$. Тогда $L=5l_1$, то есть $l_1=\dfrac L5$.

Шаг 2 — силы в керосине. Объёмы одинаковы, поэтому и силы Архимеда одинаковы: $$F_{\text{А}}=\rho_{\text{к}}gV=800\cdot10\cdot250\cdot10^{-6}=2\ \text{Н}.$$ Натяжения нитей: $T_1'=12{,}8-2=10{,}8$ Н и $T_2'=3{,}2-2=1{,}2$ Н. Отношение сил стало $\dfrac{10{,}8}{1{,}2}=9$ вместо $4$.

Шаг 3 — второе равновесие. Длина рычага та же. Новые плечи: $l_2'=9l_1'$, $L=10l_1'$, $l_1'=\dfrac{L}{10}$. Опора сдвинулась к тяжёлому грузу на $$l_1-l_1'=\frac L5-\frac L{10}=\frac L{10}=10\ \text{см},$$ откуда $L=100$ см и $l_1=\dfrac{100}{5}=20$ см.

Проверим себя. Вначале: $1{,}28\cdot10\cdot0{,}2=2{,}56$ и $0{,}32\cdot10\cdot0{,}8=2{,}56$ Н·м — равны. В керосине при опоре в $10$ см от тяжёлого груза: $10{,}8\cdot0{,}1=1{,}08$ и $1{,}2\cdot0{,}9=1{,}08$ Н·м — тоже равны. Значит, вначале тяжёлый груз висел в $20$ см от опоры.