Статика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00043201

Что происходит: однородный стержень массой $2{,}7$ кг нижним концом $A$ сидит в шарнире, а верхний конец $B$ удерживается горизонтальной нитью $BC$, привязанной к стене. Стержень наклонён к горизонту на $\alpha=45°$. Нужно найти, с какой силой шарнир действует на стержень.

Обоснование модели. Систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной — в ней покоящееся тело подчиняется условиям равновесия. Стержень может поворачиваться вокруг шарнира, его размеры существенны — это абсолютно твёрдое тело, а не материальная точка, поэтому для равновесия должны быть равны нулю и сумма сил, и сумма моментов. Нить лёгкая — тянет только вдоль себя. Шарнир без трения может действовать в любом направлении в плоскости рисунка.

Рисунок сил. Сила тяжести $m\vec g$ — вниз, из середины стержня. Натяжение нити $\vec T$ — горизонтально к стене, в точке $B$. Сила шарнира $\vec F$ — в точке $A$; раскладываем её на составляющие $F_x$ (горизонтально, от стены) и $F_y$ (вертикально вверх).

Шаг 1 — сумма сил. Вертикально вверх действует только $F_y$, вниз — сила тяжести: $F_y=mg=2{,}7\cdot10=27$ Н. Горизонтально нить тянет к стене, а шарнир упирает нижний конец от стены: $F_x=T$.

Шаг 2 — моменты относительно шарнира $A$ (сила шарнира момента не даёт). Пусть длина стержня $L$. Плечо силы тяжести $\dfrac L2\cos\alpha$, плечо натяжения $L\sin\alpha$: $$mg\frac L2\cos\alpha=TL\sin\alpha\quad\Rightarrow\quad T=\frac{mg}{2\operatorname{tg}\alpha}=\frac{27}{2\cdot1}=13{,}5\ \text{Н}.$$

Шаг 3 — модуль силы шарнира. $$F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}=\sqrt{13{,}5^2+27^2}=\sqrt{182{,}25+729}=\sqrt{911{,}25}\approx30{,}2\ \text{Н}\approx30\ \text{Н}.$$

Проверим себя моментами относительно верхнего конца $B$: там выпадает натяжение нити, а моменты дают сила тяжести и две составляющие силы шарнира. Получается $F_yL\cos\alpha=mg\dfrac L2\cos\alpha+F_xL\sin\alpha$, то есть $27=13{,}5+13{,}5$ — верно. И по смыслу: сила шарнира больше веса ($30\gt27$ Н), ведь она уравновешивает и вес, и натяжение нити.