Статика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00041337

Обоснование

1. Введём инерциальную систему отсчёта (ИСО), связанную с Землёй.

2. Стержень будем описывать моделью абсолютно твёрдого тела — его форма и размеры неизменны, расстояние между любыми двумя точками остаётся неизменным.

3. Движение абсолютно твёрдого тела можно описать совокупностью движений — поступательного и вращательного. Поэтому для равновесия твёрдого тела в ИСО необходимо два условия. Одно для поступательного движения, другое — для вращательного движения.

4. Сумма всех приложенных к твёрдому телу внешних сил равна нулю (условие равновесия твёрдого тела относительно поступательного движения). Также применимо правило моментов сил (условие равновесия твёрдого тела относительно вращательного движения).

5. На стержень действуют сила тяжести $mg$, направленная вниз и приложенная к центру масс, сила натяжения нити $T$, направленная влево и приложенная в точке $B$, и сила реакции шарнира $F$, приложенная в точке $A$. Из условия равновесия стержня относительно поступательного движения следует, что горизонтальная составляющая $F_x$ направлена вправо и уравновешивает силу натяжения нити, а вертикальная составляющая $F_y$ направлена вверх и уравновешивает силу тяжести. Поэтому сила реакции шарнира $F$ направлена вправо и вверх.

Решение

Дано:

$m = 1$ кг

$F = 11$ Н

Найти:

$\alpha$ — ?

Сделаем рисунок с указанием сил, действующих на стержень, а также введём оси $Ox$ и $Oy$.

Момент силы можно найти по формуле $M = Fd$, где $F$ — сила, а $d$ — её плечо до рассматриваемой оси вращения.

Стержень находится в равновесии под действием сил, изображённых на рисунке, где $m\vec{g}$ — сила тяжести, $\vec{T}$ — сила натяжения нити, $\vec{F}_x$ и $\vec{F}_y$ — составляющие силы реакции шарнира вдоль горизонтальной и вертикальной осей соответственно. Запишем условие равновесия относительно поступательного движения:

$\vec{F} + m\vec{g} + \vec{T} = 0,$

Спроецируем условие равновесия относительно поступательного движения на оси $Ox$ и $Oy$:

$\begin{cases} F_x - T = 0 \\ F_y - mg = 0 \end{cases}$

Так как

$F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2},$

то

$F = \sqrt{T^2 + (mg)^2}. \quad (1)$

Запишем правило моментов сил относительно оси, проходящей через точку $A$:

$mg\dfrac{l}{2}\cos\alpha = Tl\sin\alpha,$

где $l$ — длина стержня.

Отсюда

$T = \dfrac{mg}{2},\mathrm{ctg},\alpha. \quad (2)$

Объединяя (1) и (2), получаем:

$F^2 = \left(\dfrac{mg}{2},\mathrm{ctg},\alpha\right)^2 + (mg)^2$

$F^2 = (mg)^2\left(\dfrac{\mathrm{ctg}^2\alpha}{4} + 1\right)$

$\left(\dfrac{F}{mg}\right)^2 - 1 = \dfrac{\mathrm{ctg}^2\alpha}{4}$

Откуда:

$\mathrm{ctg},\alpha = \sqrt{4\left(\left(\dfrac{F}{mg}\right)^2 - 1\right)}$

$\mathrm{ctg},\alpha = 2\sqrt{\left(\dfrac{F}{mg}\right)^2 - 1}$

$\mathrm{ctg},\alpha = 2\sqrt{\left(\dfrac{11}{1 \cdot 10}\right)^2 - 1} = \dfrac{\sqrt{21}}{5}$

$\alpha = \mathrm{arcctg},\dfrac{\sqrt{21}}{5} \approx 47{,}5^\circ$

Ответ: $\alpha = \mathrm{arcctg}\left(2\sqrt{\left(\dfrac{F}{mg}\right)^2 - 1}\right) \approx 47{,}5^\circ$