Статика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00043203

Что происходит: рычаг $AB$ может вращаться вокруг оси $O$ и стоит горизонтально. К точке $C$ подвешена латунная пластина массой $120$ г, а конец $A$ удерживает нить, натянутая динамометром $D$ под углом к вертикали. Угол показывает транспортир, силу — динамометр. Нужно найти массу самого рычага.

Обоснование модели. Систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной. Рычаг — абсолютно твёрдое тело с неподвижной осью вращения, трения в оси нет: условие его покоя — равенство нулю суммы моментов сил относительно оси $O$. Пластина — материальная точка в равновесии: для неё достаточно равенства сил, поэтому натяжение её нити равно $mg$. Нити невесомые и нерастяжимые — каждая передаёт силу вдоль себя без изменения модуля.

Данные с фотографии. На увеличенной шкале динамометра подписи идут через $0{,}5$ Н, указатель стоит чуть дальше отметки $1{,}5$ — с учётом цены деления это $F=1{,}6$ Н. На шкале транспортира нить проходит посередине между подписями $40$ и $50$, подписи растут от вертикали, поэтому нить отклонена от вертикали на $\alpha=45°$. По меткам на рычаге меряем в условных единицах (у.е.): весь рычаг — $7$ у.е., $AO=6$ у.е., $CO=4$ у.е. Центр однородного рычага $Q$ — в $3{,}5$ у.е. от $A$, значит, $QO=6-3{,}5=2{,}5$ у.е.

Рисунок сил. На рычаг: $\vec F$ в точке $A$ вдоль нити (вверх-влево); натяжение нити пластины в точке $C$ вниз, по модулю $mg$; сила тяжести рычага $M\vec g$ в его центре $Q$; реакция оси $\vec N$ в точке $O$. На пластину: $m\vec g$ вниз и натяжение нити вверх.

Шаг 1 — правило моментов относительно $O$. Реакция оси момента не даёт. Силу $F$ раскладываем: горизонтальная часть лежит на линии рычага и момента не создаёт, вертикальная $F\cos\alpha$ имеет плечо $AO$ и поднимает левый конец. Пластина и сила тяжести рычага тоже приложены левее оси и тянут этот конец вниз: $$F\cdot AO\cos\alpha=mg\cdot CO+Mg\cdot QO.$$

Шаг 2 — масса рычага. Сначала посчитаем известные моменты: момент динамометра $1{,}6\cdot6\cdot0{,}707\approx6{,}79$ Н·у.е., момент пластины $0{,}12\cdot10\cdot4=4{,}8$ Н·у.е. На силу тяжести рычага остаётся разность: $$M=\frac{F\cdot AO\cos\alpha-mg\cdot CO}{g\cdot QO}=\frac{6{,}79-4{,}8}{10\cdot2{,}5}=\frac{1{,}99}{25}\approx0{,}08\ \text{кг}=80\ \text{г}.$$ Плечи подставлены в у.е.: единица длины стоит и в числителе, и в знаменателе и сокращается.

Проверим себя обратным ходом: $0{,}12\cdot10\cdot4+0{,}08\cdot10\cdot2{,}5=4{,}8+2{,}0=6{,}8$ — практически столько же, сколько момент динамометра $6{,}79$. И по смыслу: пластина одна даёт больше двух третей момента динамометра, поэтому рычаг и должен выйти легче пластины.