Статика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00043206

Что происходит: брусок $AB$ лежит на гладком столе, его правый конец $B$ немного свешивается с края (меньше чем на половину длины). От конца $B$ нить идёт вертикально вверх к малому диску составного блока ($r=8$ см), а на большом диске ($R=12$ см) висит груз $m$. Груз тянет вниз, блок через нить тянет конец $B$ вверх. Нужно найти, при каком наименьшем отношении $\dfrac Mm$ брусок ещё не сдвинется.

Обоснование модели. Систему отсчёта, связанную со столом, считаем инерциальной. Груз — материальная точка: для его покоя достаточно равенства сил, поэтому натяжение его нити $T_2=mg$. Блок невесомый и без трения в оси — для него сумма моментов сил натяжения относительно оси равна нулю. Брусок — абсолютно твёрдое тело: он может не только сдвигаться, но и поворачиваться, поэтому для его покоя нужны оба условия — для сил и для моментов. Нити невесомы и нерастяжимы, натяжение вдоль каждой нити одинаково.

Рисунок сил. На груз: $m\vec g$ вниз, натяжение $\vec T_2$ вверх. На блок: $\vec T_2$ вниз на краю большого диска, $\vec T_1$ вниз на краю малого диска, сила со стороны оси. На брусок: $M\vec g$ в середине вниз, $\vec T_1$ в точке $B$ вверх, сила реакции стола $\vec N$ вверх на опорной части.

Шаг 1 — блок. Моменты натяжений относительно оси равны: $$T_1r=T_2R=mgR\quad\Rightarrow\quad T_1=mg\frac Rr=mg\cdot\frac{12}{8}=1{,}5\,mg.$$ Блок работает как рычаг: нить бруска сидит на коротком плече, поэтому тянет сильнее, чем весит груз.

Шаг 2 — что случится с бруском раньше. Все силы на брусок вертикальны, поэтому сдвинуться вбок он не может. Без нити центр тяжести бруска находится над столом (свес меньше половины). Нить поднимает конец $B$, а конец $A$ уйти в стол не может — значит, раньше, чем брусок целиком оторвётся, он начнёт поворачиваться вокруг конца $A$. В момент начала поворота вся реакция стола сосредоточена в точке $A$.

Шаг 3 — условие покоя бруска. Моменты относительно $A$ (реакция стола тогда момента не создаёт; длина бруска $L$): брусок покоится, пока $$Mg\frac L2\ge T_1L\quad\Rightarrow\quad Mg\ge2T_1=2mg\frac Rr.$$ Отсюда $$\frac Mm\ge\frac{2R}{r}=\frac{2\cdot12}{8}=3.$$ Минимальное значение отношения равно $3$.

Проверим себя. При $M=3m$ натяжение $T_1=1{,}5mg=0{,}5Mg$: момент натяжения $0{,}5Mg\cdot L$ ровно равен моменту силы тяжести $Mg\cdot\dfrac L2$ — брусок на грани поворота. Обрати внимание на ловушку: если считать, что брусок «отрывается целиком» при $T_1=Mg$, получилось бы $1{,}5$ — но конец $B$ поднимется гораздо раньше.