Статика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00043200

Что происходит: однородный стержень $AB$ нижним концом $A$ закреплён в шарнире на опоре, а верхний конец $B$ привязан к стене горизонтальной нитью $BC$. Стержень наклонён к горизонту под углом $\alpha=45°$ и покоится. Известно, что шарнир действует на стержень с силой $35$ Н, — найдём массу стержня.

Обоснование модели. Систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной. Стержень нельзя считать материальной точкой: он может поворачиваться вокруг шарнира, поэтому это абсолютно твёрдое тело, и для его покоя нужны два условия: сумма сил равна нулю и сумма моментов сил относительно любой оси равна нулю. Нить лёгкая, её натяжение направлено вдоль нити. Трения в шарнире нет, поэтому шарнир может действовать с силой любого направления в плоскости рисунка, но относительно оси $A$ момента не создаёт.

Рисунок сил. На стержень действуют три силы: сила тяжести $m\vec g$ — вертикально вниз, приложена в середине стержня (он однородный); сила натяжения нити $\vec T$ — горизонтально к стене, приложена в точке $B$; сила шарнира $\vec F$ в точке $A$. Её разложим на горизонтальную $F_x$ (от стены) и вертикальную $F_y$ (вверх) составляющие.

Шаг 1 — равенство нулю суммы сил. По горизонтали: $F_x=T$. По вертикали нить не действует (она горизонтальна), поэтому весь вес держит шарнир: $F_y=mg$.

Шаг 2 — правило моментов относительно $A$. Обозначим длину стержня $L$. Плечо силы тяжести — горизонтальное расстояние от $A$ до середины: $\dfrac L2\cos\alpha$; плечо натяжения — вертикальное расстояние от $A$ до нити: $L\sin\alpha$. Моменты уравновешены: $$mg\frac L2\cos\alpha=TL\sin\alpha\quad\Rightarrow\quad T=\frac{mg}{2\operatorname{tg}\alpha}=\frac{mg}{2},$$ так как $\operatorname{tg}45°=1$.

Шаг 3 — модуль силы шарнира. Составляющие перпендикулярны, поэтому $$F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}=\sqrt{\left(\frac{mg}{2}\right)^2+(mg)^2}=\frac{\sqrt5}{2}mg.$$ Отсюда $$m=\frac{2F}{\sqrt5\,g}=\frac{2\cdot35}{2{,}236\cdot10}=\frac{70}{22{,}36}\approx3{,}1\ \text{кг}.$$

Проверим себя другим способом — через теорему о трёх силах: если тело покоится под действием трёх непараллельных сил, их линии действия пересекаются в одной точке. Вертикаль через середину стержня и горизонталь через $B$ пересекаются в точке, которая на $\dfrac L2\cos45°$ правее $A$ и на $L\sin45°$ выше. Значит, сила шарнира наклонена так, что $\dfrac{F_y}{F_x}=\dfrac{L\sin45°}{(L/2)\cos45°}=2$ — то же, что $\dfrac{mg}{mg/2}=2$. Всё сходится.