Статика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00043202

Что происходит: однородный рычаг $AB$ может поворачиваться вокруг оси $O$. В точке $C$ на нити висит медная пластина, а левый конец $A$ тянут вверх-влево нитью динамометра $D$, так что рычаг стоит горизонтально. Динамометр показывает силу натяжения нити, транспортир — угол нити с вертикалью. Масса рычага $30$ г, нужно найти массу пластины.

Обоснование модели. Систему отсчёта, связанную со столом (Землёй), считаем инерциальной. Рычаг — абсолютно твёрдое тело, которое может поворачиваться вокруг оси $O$; он не вращается, значит, сумма моментов всех сил относительно оси $O$ равна нулю (трения в оси нет). Пластину считаем материальной точкой: она покоится, поэтому сумма сил на неё равна нулю и натяжение её нити равно $mg$. Нити невесомы и нерастяжимы, поэтому нить пластины действует на рычаг в точке $C$ с той же силой $mg$, направленной вертикально вниз, а нить динамометра — с силой $F$ вдоль себя.

Снимаем данные с фотографии. На увеличенной шкале динамометра подписи идут через $0{,}5$ Н, указатель стоит чуть дальше отметки $1{,}5$ — с учётом цены деления это $F=1{,}6$ Н. На увеличенной шкале транспортира нить проходит посередине между подписями $40$ и $50$, а подписи растут от вертикали — значит, нить отклонена от вертикали на $\alpha=45°$. Расстояния по меткам на рычаге удобно мерить в условных единицах (у.е.): весь рычаг $AB$ — $7$ у.е., от $A$ до оси — $AO=6$ у.е., от $C$ до оси — $CO=4$ у.е. Рычаг однородный, его центр $Q$ — в $3{,}5$ у.е. от $A$, то есть на расстоянии $QO=6-3{,}5=2{,}5$ у.е. левее оси.

Рисунок сил. На рычаг: сила динамометра $\vec F$ в точке $A$ вдоль нити, под углом $\alpha$ к вертикали; сила натяжения нити пластины в точке $C$ вниз, по модулю $mg$; сила тяжести рычага $M\vec g$ в его центре $Q$ вниз; сила реакции оси $\vec N$ в точке $O$. На пластину: сила тяжести $m\vec g$ вниз и сила натяжения нити вверх.

Шаг 1 — моменты относительно $O$. Сила реакции оси проходит через ось и момента не создаёт. Силу $F$ разложим на две составляющие: горизонтальная лежит на линии рычага и момента не даёт, а вертикальная $F\cos\alpha$ приложена на плече $AO$ и стремится поднять левый конец. Пластина и сила тяжести рычага приложены тоже левее оси и стремятся этот конец опустить. Равновесие означает равенство моментов: $$F\cdot AO\cos\alpha=mg\cdot CO+Mg\cdot QO.$$

Шаг 2 — выражаем массу пластины: $$m=\frac{F\cdot AO\cos\alpha-Mg\cdot QO}{g\cdot CO}=\frac{1{,}6\cdot6\cdot0{,}707-0{,}03\cdot10\cdot2{,}5}{10\cdot4}=\frac{6{,}79-0{,}75}{40}\approx0{,}15\ \text{кг}.$$ Здесь $\cos45°\approx0{,}707$, а $Mg=0{,}03\cdot10=0{,}3$ Н. Плечи можно подставлять прямо в у.е.: они стоят и слева, и справа, и единица длины сокращается.

Проверим себя обратным ходом: моменты сил тяжести $0{,}151\cdot10\cdot4+0{,}3\cdot2{,}5\approx6{,}04+0{,}75=6{,}79$ (в Н·у.е.), момент динамометра $1{,}6\cdot0{,}707\cdot6\approx6{,}79$ — равны. И по смыслу: пластина примерно в пять раз тяжелее рычага, поэтому основную часть момента динамометра «съедает» именно она.