Электрические… — Задание 25 ЕГЭ по физике №00043196

Что тут происходит. Источник с внутренним сопротивлением $r=2$ Ом питает реостат, сопротивление которого можно менять от $1$ до $5$ Ом. Известно, что наибольшая мощность на реостате — $4{,}5$ Вт. Нужно найти мощность при самом большом сопротивлении реостата.

Шаг 1 — мощность на реостате. По закону Ома для полной цепи ток $I=\dfrac{\mathcal{E}}{R+r}$, мощность на реостате $$P=I^2R=\frac{\mathcal{E}^2R}{(R+r)^2}.$$ При очень маленьком $R$ ток большой, но нагрузка почти нулевая; при очень большом $R$ ток маленький. Поэтому мощность сначала растёт, потом падает.

Шаг 2 — где максимум. Запишем $P=\dfrac{\mathcal{E}^2}{\dfrac{(R+r)^2}{R}}=\dfrac{\mathcal{E}^2}{R+2r+\dfrac{r^2}{R}}$. Знаменатель наименьший, когда сумма $R+\dfrac{r^2}{R}$ наименьшая, а это при $R=r$ (сумма числа и обратного к нему, умноженного на $r^2$, минимальна, когда они равны). Значит, максимум при $R=r=2$ Ом — и это значение входит в диапазон реостата от $1$ до $5$ Ом, так что максимум действительно достигается. Тогда $$P_{max}=\frac{\mathcal{E}^2r}{(2r)^2}=\frac{\mathcal{E}^2}{4r}.$$

Шаг 3 — ЭДС: $$\mathcal{E}^2=4rP_{max}=4\cdot2\cdot4{,}5=36,\qquad\mathcal{E}=6\ \text{В}.$$

Шаг 4 — мощность при $R=5$ Ом. Ток $I=\dfrac{6}{5+2}=\dfrac{6}{7}$ А, $$P=I^2R=\frac{36}{49}\cdot5=\frac{180}{49}\approx3{,}7\ \text{Вт}.$$

Проверим себя: при $R=2$ Ом ток $\dfrac{6}{4}=1{,}5$ А, мощность $1{,}5^2\cdot2=4{,}5$ Вт — это и есть максимум из условия. При $R=5$ Ом мощность вышла меньше максимальной, как и должно быть. Для сравнения, на другом краю, при $R=1$ Ом: $\left(\dfrac{6}{3}\right)^2\cdot1=4$ Вт — тоже меньше $4{,}5$.