Конденсаторы — Задание 25 ЕГЭ по физике №00043195

Что тут происходит. Заряженный конденсатор $C_1$ замыкают через резистор на незаряженный конденсатор $C_2$. Заряд частично перетекает, ток идёт через резистор и греет его, пока напряжения не уравняются. Известно, сколько теплоты выделилось, — нужно найти ёмкость второго конденсатора.

Шаг 1 — что сохраняется. Посмотри на схему: правая обкладка $C_1$ соединена с левой обкладкой $C_2$ через резистор, и этот «островок» из двух обкладок ни с чем больше не связан. Его полный заряд не меняется. Если с $C_1$ ушёл заряд $\Delta q$, то ровно он оказался на $C_2$. Начальный заряд $q_0=C_1U=5\cdot10^{-6}\cdot200=10^{-3}$ Кл.

Шаг 2 — когда ток прекратится. Ток идёт, пока на резисторе есть напряжение. В конце его нет, и при обходе контура напряжения конденсаторов равны: $$\frac{q_0-\Delta q}{C_1}=\frac{\Delta q}{C_2}\quad\Rightarrow\quad\Delta q=\frac{q_0C_2}{C_1+C_2},$$ общее напряжение $U'=\dfrac{q_0}{C_1+C_2}=\dfrac{C_1U}{C_1+C_2}$.

Шаг 3 — закон сохранения энергии. Теплота равна убыли энергии конденсаторов. Считать её как $I^2Rt$ нельзя — ток всё время меняется. Начальная энергия $W_0=\dfrac{C_1U^2}{2}=\dfrac{5\cdot10^{-6}\cdot200^2}{2}=0{,}1$ Дж. Конечная $W=\dfrac{(C_1+C_2)U'^2}{2}=\dfrac{C_1^2U^2}{2(C_1+C_2)}$. Тогда $$Q=W_0-W=\frac{C_1U^2}{2}\left(1-\frac{C_1}{C_1+C_2}\right)=W_0\cdot\frac{C_2}{C_1+C_2}.$$ Сопротивление $R$ в ответ не вошло: оно влияет только на то, как долго идёт перезарядка.

Шаг 4 — ёмкость. $\dfrac{Q}{W_0}=\dfrac{0{,}06}{0{,}1}=0{,}6$, значит $$\frac{C_2}{C_1+C_2}=0{,}6\quad\Rightarrow\quad C_2=0{,}6C_1+0{,}6C_2\quad\Rightarrow\quad 0{,}4C_2=0{,}6\cdot5\ \text{мкФ}\quad\Rightarrow\quad C_2=7{,}5\ \text{мкФ}.$$

Проверим себя. Общее напряжение $U'=\dfrac{5\cdot200}{12{,}5}=80$ В, конечная энергия $\dfrac{12{,}5\cdot10^{-6}\cdot80^2}{2}=0{,}04$ Дж, теплота $0{,}1-0{,}04=0{,}06$ Дж $=60$ мДж — как в условии. И предельные случаи разумны: при очень большой $C_2$ в тепло ушла бы почти вся энергия, при очень маленькой — почти ничего.