ID: 00026611
На рисунке показана схема электрической цепи, состоящей из источника тока с ЭДС $ℰ=12$ В и внутренним сопротивлением $r=1$ Ом, двух резисторов с сопротивлениями $R_{1}$ = 7 Ом и $R_{2}$ = 4 Ом, конденсатора электроёмкостью С = 3 мкФ и катушки с индуктивностью L = 32 мкГн. Какое количество теплоты выделится на резисторе $R_{2}$ после размыкания ключа К? Сопротивлением провода катушки пренебречь.
Источник: ФИПИ
Сначала разберём схему. Слева последовательно соединены катушка $L$ и резистор $R_2$ — вместе они образуют одну ветвь между верхним узлом и нижним. Параллельно этой ветви подключён конденсатор $C$. А справа через ключ К к тем же узлам подходит источник, но не напрямую: в его ветви стоит резистор $R_1$. Пока ключ замкнут, источник питает цепь; после размыкания источник вместе с $R_1$ отваливается, и остаётся замкнутое кольцо «катушка — резистор $R_2$ — конденсатор». Именно в нём и будет происходить всё интересное.
Шаг 1 — ток до размыкания. Прошло много времени, всё установилось. Через конденсатор постоянный ток не идёт, а катушка при неизменном токе ведёт себя как обычный провод без сопротивления (её сопротивлением условие велит пренебречь). Значит, ток течёт по единственному кольцу: источник — $R_1$ — катушка — $R_2$. По закону Ома для полной цепи $I_0=\dfrac{\mathcal{E}}{r+R_1+R_2}=\dfrac{12}{1+7+4}=\dfrac{12}{12}=1$ А.
Шаг 2 — напряжение на конденсаторе до размыкания. Конденсатор подключён параллельно ветви «катушка + $R_2$». На катушке напряжения нет (нет сопротивления и ток постоянен), поэтому напряжение на конденсаторе равно падению на $R_2$: $U_0=I_0R_2=1\cdot4=4$ В.
Шаг 3 — сколько энергии запасено. В катушке: $W_L=\dfrac{LI_0^2}{2}=\dfrac{32\cdot10^{-6}\cdot1^2}{2}=16\cdot10^{-6}$ Дж $=16$ мкДж. В конденсаторе: $W_C=\dfrac{CU_0^2}{2}=\dfrac{3\cdot10^{-6}\cdot4^2}{2}=\dfrac{48\cdot10^{-6}}{2}=24\cdot10^{-6}$ Дж $=24$ мкДж.
Шаг 4 — что происходит после размыкания. Источник отключён, подпитки больше нет. В оставшемся кольце начинаются затухающие электромагнитные колебания: энергия перекачивается из катушки в конденсатор и обратно, но каждый раз, когда ток проходит через $R_2$, часть энергии превращается в тепло. Колебания затухают, и в конце концов ток становится нулевым, а конденсатор разряжается — вся запасённая энергия уходит в тепло.
Шаг 5 — где именно выделяется тепло. Единственное сопротивление в оставшемся контуре — это $R_2$. Сопротивлением провода катушки пренебрегаем, а $R_1$ и источник отключены ключом, ток через них не идёт. Значит, ВСЁ тепло достаётся резистору $R_2$.
Шаг 6 — считаем. По закону сохранения энергии: $Q=W_L+W_C=16+24=40$ мкДж $=4\cdot10^{-5}$ Дж.
Обрати внимание на ловушку: заманчиво посчитать только энергию катушки (ведь «размыкают ключ — катушка не даёт току упасть»). Но конденсатор в момент размыкания тоже был заряжен до $4$ В, и его энергия — даже большая часть ответа. Забыв про неё, получишь $16$ мкДж вместо $40$.
Обоснование модели. Работают: закон Ома для полной цепи $I=\dfrac{\mathcal{E}}{r+R_1+R_2}$ и закон Ома для участка $U=IR$ в установившемся режиме; утверждение, что через конденсатор постоянный ток не течёт, а идеальная катушка при постоянном токе не создаёт падения напряжения (ЭДС самоиндукции $\mathcal{E}_{si}=-L\dfrac{\Delta I}{\Delta t}$ равна нулю при $\Delta I=0$); формулы энергии магнитного поля катушки $W_L=\dfrac{LI^2}{2}$ и энергии заряженного конденсатора $W_C=\dfrac{CU^2}{2}$; закон сохранения энергии вместе с законом Джоуля–Ленца — вся запасённая электромагнитная энергия в конце концов переходит в тепло на единственном сопротивлении контура. Считать полное тепло без интегрирования по времени можно именно потому, что нас спрашивают итог, а не мгновенные значения: начальное и конечное состояния известны, и разность энергий даёт ответ.