ID: 00026611
На рисунке показана схема электрической цепи, состоящей из источника тока с ЭДС ℰ=12 В и внутренним сопротивлением r=1 Ом, двух резисторов с сопротивлениями R _{1} = 7 Ом и R _{2} = 4 Ом, конденсатора электроёмкостью С = 3 мкФ и катушки с индуктивностью L = 32 мкГн. Какое количество теплоты выделится на резисторе R _{2} после размыкания ключа К? Сопротивлением провода катушки пренебречь.
Источник: ФИПИ
Сначала разберём схему. Слева последовательно соединены катушка L и резистор R_2 — вместе они образуют одну ветвь между верхним узлом и нижним. Параллельно этой ветви подключён конденсатор C. А справа через ключ К к тем же узлам подходит источник, но не напрямую: в его ветви стоит резистор R_1. Пока ключ замкнут, источник питает цепь; после размыкания источник вместе с R_1 отваливается, и остаётся замкнутое кольцо «катушка — резистор R_2 — конденсатор». Именно в нём и будет происходить всё интересное.
Шаг 1 — ток до размыкания. Прошло много времени, всё установилось. Через конденсатор постоянный ток не идёт, а катушка при неизменном токе ведёт себя как обычный провод без сопротивления (её сопротивлением условие велит пренебречь). Значит, ток течёт по единственному кольцу: источник — R_1 — катушка — R_2. По закону Ома для полной цепи I_0=\dfrac{\mathcal{E}}{r+R_1+R_2}=\dfrac{12}{1+7+4}=\dfrac{12}{12}=1 А.
Шаг 2 — напряжение на конденсаторе до размыкания. Конденсатор подключён параллельно ветви «катушка + R_2». На катушке напряжения нет (нет сопротивления и ток постоянен), поэтому напряжение на конденсаторе равно падению на R_2: U_0=I_0R_2=1\cdot4=4 В.
Шаг 3 — сколько энергии запасено. В катушке: W_L=\dfrac{LI_0^2}{2}=\dfrac{32\cdot10^{-6}\cdot1^2}{2}=16\cdot10^{-6} Дж =16 мкДж. В конденсаторе: W_C=\dfrac{CU_0^2}{2}=\dfrac{3\cdot10^{-6}\cdot4^2}{2}=\dfrac{48\cdot10^{-6}}{2}=24\cdot10^{-6} Дж =24 мкДж.
Шаг 4 — что происходит после размыкания. Источник отключён, подпитки больше нет. В оставшемся кольце начинаются затухающие электромагнитные колебания: энергия перекачивается из катушки в конденсатор и обратно, но каждый раз, когда ток проходит через R_2, часть энергии превращается в тепло. Колебания затухают, и в конце концов ток становится нулевым, а конденсатор разряжается — вся запасённая энергия уходит в тепло.
Шаг 5 — где именно выделяется тепло. Единственное сопротивление в оставшемся контуре — это R_2. Сопротивлением провода катушки пренебрегаем, а R_1 и источник отключены ключом, ток через них не идёт. Значит, ВСЁ тепло достаётся резистору R_2.
Шаг 6 — считаем. По закону сохранения энергии: Q=W_L+W_C=16+24=40 мкДж =4\cdot10^{-5} Дж.
Обрати внимание на ловушку: заманчиво посчитать только энергию катушки (ведь «размыкают ключ — катушка не даёт току упасть»). Но конденсатор в момент размыкания тоже был заряжен до 4 В, и его энергия — даже большая часть ответа. Забыв про неё, получишь 16 мкДж вместо 40.
Обоснование модели. Работают: закон Ома для полной цепи I=\dfrac{\mathcal{E}}{r+R_1+R_2} и закон Ома для участка U=IR в установившемся режиме; утверждение, что через конденсатор постоянный ток не течёт, а идеальная катушка при постоянном токе не создаёт падения напряжения (ЭДС самоиндукции \mathcal{E}_{si}=-L\dfrac{\Delta I}{\Delta t} равна нулю при \Delta I=0); формулы энергии магнитного поля катушки W_L=\dfrac{LI^2}{2} и энергии заряженного конденсатора W_C=\dfrac{CU^2}{2}; закон сохранения энергии вместе с законом Джоуля–Ленца — вся запасённая электромагнитная энергия в конце концов переходит в тепло на единственном сопротивлении контура. Считать полное тепло без интегрирования по времени можно именно потому, что нас спрашивают итог, а не мгновенные значения: начальное и конечное состояния известны, и разность энергий даёт ответ.