Задание ЕГЭ по физике: Протон влетает в электрическое поле конденсатора параллельно его…

Разберёмся, что тут за гонка. Протон влетает в конденсатор точно посередине между пластинами и летит параллельно им. Поле внутри тянет его к одной из пластин, и чем дольше он летит, тем сильнее отклоняется. Если он летит медленно, то не успеет добраться до края и врежется в пластину. Значит, есть пороговая скорость: при ней протон вылетает, задев край пластины буквально «по касательной». Её и надо найти.

Шаг 1 — переводим слово «минимальная» в геометрию. Протон стартует посередине зазора, поэтому до пластины ему ровно ползазора: \dfrac{d}{2}=\dfrac{0{,}01}{2}=0{,}005 м. При минимальной скорости поперечное смещение за время пролёта равно как раз этой величине.

Шаг 2 — раскладываем движение. Вдоль пластин на протон никаких сил не действует (поле поперечное, силой тяжести пренебрегаем), поэтому движение равномерное: время пролёта t=\dfrac{l}{\upsilon}, где l=5\ \text{см}=0{,}05 м.

Шаг 3 — поперёк. Сила со стороны однородного поля постоянна: F=qE, где q=1{,}6\cdot10^{-19} Кл — элементарный заряд (протон заряжен положительно и по модулю несёт ровно один такой заряд). По второму закону Ньютона a=\dfrac{qE}{m}, где m=1{,}67\cdot10^{-27} кг — масса протона. Начальной поперечной скорости нет, поэтому смещение y=\dfrac{at^2}{2}.

Шаг 4 — составляем уравнение. \dfrac{d}{2}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{qE}{m}\cdot\left(\dfrac{l}{\upsilon}\right)^2. Двойки сокращаются: d=\dfrac{qEl^2}{m\upsilon^2}.

Шаг 5 — выражаем скорость. \upsilon^2=\dfrac{qEl^2}{md}, значит \upsilon=l\sqrt{\dfrac{qE}{md}}.

Шаг 6 — считаем по частям, чтобы не утонуть в степенях. Числитель под корнем: qE=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot5000=8\cdot10^{-16}. Знаменатель: md=1{,}67\cdot10^{-27}\cdot0{,}01=1{,}67\cdot10^{-29}. Дробь: \dfrac{8\cdot10^{-16}}{1{,}67\cdot10^{-29}}\approx4{,}79\cdot10^{13}. Корень: \sqrt{4{,}79\cdot10^{13}}\approx6{,}9\cdot10^{6}. И наконец \upsilon=0{,}05\cdot6{,}9\cdot10^{6}\approx3{,}5\cdot10^{5} м/с.

Прикинем разумность: 3{,}5\cdot10^{5} м/с — это примерно 350 км/с, что чуть больше одной тысячной скорости света. Для протона в слабеньком поле в 5000 В/м вполне обычная величина, и релятивистские поправки тут не нужны.

Проверим себя обратным ходом: время пролёта t=\dfrac{0{,}05}{3{,}5\cdot10^{5}}\approx1{,}43\cdot10^{-7} с; ускорение a=\dfrac{8\cdot10^{-16}}{1{,}67\cdot10^{-27}}\approx4{,}79\cdot10^{11}\ \text{м}/\text{с}^2; смещение y=\dfrac{4{,}79\cdot10^{11}\cdot(1{,}43\cdot10^{-7})^2}{2}\approx4{,}9\cdot10^{-3} м — почти ровно 5 мм, то есть половина зазора. Сходится.

Обоснование модели. Протон считаем материальной точкой. Используются: выражение силы, действующей на заряд в однородном электрическом поле, F=qE (однородность поля прямо разрешена условием, поэтому сила и ускорение постоянны); второй закон Ньютона a=\dfrac{F}{m}; принцип независимости движений по взаимно перпендикулярным направлениям — вдоль пластин равномерное движение, поперёк равноускоренное без начальной скорости. Силой тяжести пренебрегаем по условию, и это оправдано: вес протона mg\approx1{,}7\cdot10^{-26} Н против электрической силы 8\cdot10^{-16} Н — разница в десять порядков. Значения заряда и массы протона берутся из таблицы констант КИМ.