ID: 00026625
Протон влетает в электрическое поле конденсатора параллельно его пластинам в точке, находящейся посередине между пластинами (см. рисунок). Найдите минимальную скорость $\upsilon ,$ с которой протон должен влететь в конденсатор, чтобы затем вылететь из него. Длина пластин конденсатора 5 см, расстояние между пластинами 1 см, напряжённость электрического поля конденсатора 5000 В/м. Поле внутри конденсатора считать однородным, силой тяжести пренебречь.
Источник: ФИПИ
Разберёмся, что тут за гонка. Протон влетает в конденсатор точно посередине между пластинами и летит параллельно им. Поле внутри тянет его к одной из пластин, и чем дольше он летит, тем сильнее отклоняется. Если он летит медленно, то не успеет добраться до края и врежется в пластину. Значит, есть пороговая скорость: при ней протон вылетает, задев край пластины буквально «по касательной». Её и надо найти.
Шаг 1 — переводим слово «минимальная» в геометрию. Протон стартует посередине зазора, поэтому до пластины ему ровно ползазора: $\dfrac{d}{2}=\dfrac{0{,}01}{2}=0{,}005$ м. При минимальной скорости поперечное смещение за время пролёта равно как раз этой величине.
Шаг 2 — раскладываем движение. Вдоль пластин на протон никаких сил не действует (поле поперечное, силой тяжести пренебрегаем), поэтому движение равномерное: время пролёта $t=\dfrac{l}{\upsilon}$, где $l=5\ \text{см}=0{,}05$ м.
Шаг 3 — поперёк. Сила со стороны однородного поля постоянна: $F=qE$, где $q=1{,}6\cdot10^{-19}$ Кл — элементарный заряд (протон заряжен положительно и по модулю несёт ровно один такой заряд). По второму закону Ньютона $a=\dfrac{qE}{m}$, где $m=1{,}67\cdot10^{-27}$ кг — масса протона. Начальной поперечной скорости нет, поэтому смещение $y=\dfrac{at^2}{2}$.
Шаг 4 — составляем уравнение. $\dfrac{d}{2}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{qE}{m}\cdot\left(\dfrac{l}{\upsilon}\right)^2$. Двойки сокращаются: $d=\dfrac{qEl^2}{m\upsilon^2}$.
Шаг 5 — выражаем скорость. $\upsilon^2=\dfrac{qEl^2}{md}$, значит $\upsilon=l\sqrt{\dfrac{qE}{md}}$.
Шаг 6 — считаем по частям, чтобы не утонуть в степенях. Числитель под корнем: $qE=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot5000=8\cdot10^{-16}$. Знаменатель: $md=1{,}67\cdot10^{-27}\cdot0{,}01=1{,}67\cdot10^{-29}$. Дробь: $\dfrac{8\cdot10^{-16}}{1{,}67\cdot10^{-29}}\approx4{,}79\cdot10^{13}$. Корень: $\sqrt{4{,}79\cdot10^{13}}\approx6{,}9\cdot10^{6}$. И наконец $\upsilon=0{,}05\cdot6{,}9\cdot10^{6}\approx3{,}5\cdot10^{5}$ м/с.
Прикинем разумность: $3{,}5\cdot10^{5}$ м/с — это примерно $350$ км/с, что чуть больше одной тысячной скорости света. Для протона в слабеньком поле в $5000$ В/м вполне обычная величина, и релятивистские поправки тут не нужны.
Проверим себя обратным ходом: время пролёта $t=\dfrac{0{,}05}{3{,}5\cdot10^{5}}\approx1{,}43\cdot10^{-7}$ с; ускорение $a=\dfrac{8\cdot10^{-16}}{1{,}67\cdot10^{-27}}\approx4{,}79\cdot10^{11}\ \text{м}/\text{с}^2$; смещение $y=\dfrac{4{,}79\cdot10^{11}\cdot(1{,}43\cdot10^{-7})^2}{2}\approx4{,}9\cdot10^{-3}$ м — почти ровно $5$ мм, то есть половина зазора. Сходится.
Обоснование модели. Протон считаем материальной точкой. Используются: выражение силы, действующей на заряд в однородном электрическом поле, $F=qE$ (однородность поля прямо разрешена условием, поэтому сила и ускорение постоянны); второй закон Ньютона $a=\dfrac{F}{m}$; принцип независимости движений по взаимно перпендикулярным направлениям — вдоль пластин равномерное движение, поперёк равноускоренное без начальной скорости. Силой тяжести пренебрегаем по условию, и это оправдано: вес протона $mg\approx1{,}7\cdot10^{-26}$ Н против электрической силы $8\cdot10^{-16}$ Н — разница в десять порядков. Значения заряда и массы протона берутся из таблицы констант КИМ.