ID: 00026616
К аккумулятору с ЭДС $ℰ=60$ В и внутренним сопротивлением r = 5 Ом подключили лампу сопротивлением $R_{\text{л}} =10$ Ом и резистор сопротивлением $R=15$ Ом, а также конденсатор ёмкостью С = 80 мкФ (см. рисунок). Спустя длительный промежуток времени ключ К размыкают. Какое количество теплоты выделится после этого на лампе?
Источник: ФИПИ
Читаем схему. Аккумулятор с ключом К подаёт напряжение на два узла. Между этими узлами включены параллельно две ветви: в одной последовательно стоят лампа $R_л=10$ Ом и резистор $R=15$ Ом, в другой — конденсатор $C=80$ мкФ. Пока ключ замкнут и всё установилось, конденсатор просто «сидит заряженный», а ток течёт через лампу и резистор. Как только ключ размыкают, аккумулятор исчезает, и конденсатор начинает разряжаться через лампу и резистор — именно это тепло нас и спрашивают.
Шаг 1 — ток до размыкания. Через конденсатор постоянный ток не идёт, поэтому цепь сводится к последовательной: источник, лампа, резистор. По закону Ома для полной цепи $I=\dfrac{\mathcal{E}}{r+R_л+R}=\dfrac{60}{5+10+15}=\dfrac{60}{30}=2$ А.
Шаг 2 — напряжение на конденсаторе. Конденсатор подключён параллельно всей паре «лампа + резистор», значит напряжение на нём равно сумме падений на них: $U=I\left(R_л+R\right)=2\cdot25=50$ В. Обрати внимание: это НЕ $60$ В — часть ЭДС ($Ir=2\cdot5=10$ В) теряется внутри самого аккумулятора.
Шаг 3 — запасённая энергия. $W=\dfrac{CU^2}{2}=\dfrac{80\cdot10^{-6}\cdot50^2}{2}=\dfrac{80\cdot10^{-6}\cdot2500}{2}=\dfrac{0{,}2}{2}=0{,}1$ Дж.
Шаг 4 — куда денется эта энергия. После размыкания ключа источник отрезан, и конденсатору некуда разряжаться, кроме как через лампу и резистор. Они соединены последовательно, поэтому через них течёт один и тот же разрядный ток. В конце концов конденсатор разряжается полностью, и вся его энергия превращается в тепло: $Q_{общ}=W=0{,}1$ Дж.
Шаг 5 — как тепло делится между лампой и резистором. Ток у них общий, а по закону Джоуля–Ленца выделяемое тепло $Q=I^2Rt$ пропорционально сопротивлению. Значит, доли распределяются как сопротивления: $\dfrac{Q_л}{Q_{общ}}=\dfrac{R_л}{R_л+R}=\dfrac{10}{25}=0{,}4$.
Шаг 6 — ответ. $Q_л=0{,}4\cdot0{,}1=0{,}04$ Дж, то есть $40$ мДж. На резисторе, соответственно, выделится $0{,}06$ Дж — вместе как раз $0{,}1$ Дж.
Главная ловушка задачи — подставить в энергию конденсатора ЭДС $60$ В вместо реального напряжения $50$ В. Тогда энергия получилась бы $0{,}144$ Дж, а тепло на лампе — $57{,}6$ мДж, что неверно почти в полтора раза. Всегда проверяй, что именно приложено к конденсатору.
Обоснование модели. Используются: утверждение об отсутствии постоянного тока через конденсатор, благодаря которому в установившемся режиме цепь становится простой последовательной; закон Ома для полной цепи $I=\dfrac{\mathcal{E}}{r+R_л+R}$ и для участка $U=IR$; формула энергии заряженного конденсатора $W=\dfrac{CU^2}{2}$; закон сохранения энергии вместе с законом Джоуля–Ленца $Q=I^2Rt$ — из последнего и следует, что при последовательном соединении тепло делится пропорционально сопротивлениям (ток и время у обоих элементов одинаковы). Сопротивление лампы считаем постоянным, как и задано в условии.