ID: 00026620
Батарея из четырёх конденсаторов электроёмкостью С _{1} = 2 С , С _{2} = С , С _{3} = 4 С и С _{4} = 2 С подключена к источнику постоянного тока с ЭДС E и внутренним сопротивлением r (см. рисунок). Определите энергию конденсатора С _{2} .
Источник: ФИПИ
Задача из тех, где полдела — правильно прочитать схему. На рисунке от левого провода к правому идут две параллельные дорожки: в верхней друг за другом стоят C_1 и C_2, в нижней — C_3 и C_4. Середины обеих дорожек соединены проводом (в этих точках на рисунке нарисованы жирные узлы), поэтому средняя точка у них общая — назовём её M. Спрашивают энергию только одного конденсатора, C_2, а для этого нужно узнать напряжение именно на нём.
Шаг 1 — перерисуем схему. Если средняя точка общая, то C_1 и C_3 подключены к одной и той же паре точек (левый провод и M) — они параллельны. И C_2 с C_4 тоже параллельны (между M и правым проводом). Ёмкости при параллельном соединении складываются: C_{13}=2C+4C=6C и C_{24}=C+2C=3C.
Шаг 2 — какое напряжение приложено ко всей батарее. Через конденсаторы постоянный ток не течёт, поэтому в установившемся режиме ток в цепи равен нулю, на внутреннем сопротивлении ничего не падает (Ir=0), и вся ЭДС достаётся батарее: U_{общ}=E. Величина r в ответ не войдёт.
Шаг 3 — общая ёмкость. Две сборки соединены последовательно: \dfrac{1}{C_{общ}}=\dfrac{1}{6C}+\dfrac{1}{3C}=\dfrac{1+2}{6C}=\dfrac{1}{2C}, значит C_{общ}=2C.
Шаг 4 — заряд. При последовательном соединении через обе сборки проходит один и тот же заряд, равный заряду всей батареи: q=C_{общ}U_{общ}=2CE.
Шаг 5 — напряжение на нужной сборке. Этот заряд «сидит» на сборке C_{24}, поэтому напряжение на ней: U_{24}=\dfrac{q}{C_{24}}=\dfrac{2CE}{3C}=\dfrac{2E}{3}. А раз C_2 и C_4 соединены параллельно, на каждом из них одно и то же напряжение, значит и на C_2 тоже U_2=\dfrac{2E}{3}.
Шаг 6 — энергия. W_2=\dfrac{C_2U_2^2}{2}=\dfrac{C}{2}\left(\dfrac{2E}{3}\right)^2=\dfrac{C}{2}\cdot\dfrac{4E^2}{9}=\dfrac{2CE^2}{9}.
Проверим себя балансом напряжений: на сборке C_{13} напряжение равно \dfrac{q}{C_{13}}=\dfrac{2CE}{6C}=\dfrac{E}{3}. Сумма: \dfrac{E}{3}+\dfrac{2E}{3}=E — как раз всё приложенное напряжение. Сходится. Заметь закономерность: на меньшей ёмкости оказалось большее напряжение — так всегда бывает при последовательном соединении.
Обоснование модели. Работают: правила сложения ёмкостей при параллельном (C=C_a+C_b) и последовательном (\dfrac{1}{C}=\dfrac{1}{C_a}+\dfrac{1}{C_b}) соединениях; определение электроёмкости q=CU и утверждение, что при последовательном соединении заряды на участках одинаковы (это следствие закона сохранения заряда для изолированного участка между конденсаторами); закон Ома для полной цепи в предельном случае нулевого тока, который и даёт U_{общ}=E; формула энергии заряженного конденсатора W=\dfrac{CU^2}{2}. Всё это справедливо для установившегося состояния — когда переходные процессы зарядки закончились.