ID: 00026620
Батарея из четырёх конденсаторов электроёмкостью $C_{1}$ = 2 С , $C_{2}$ = С , $C_{3}$ = 4 С и $C_{4}$ = 2 С подключена к источнику постоянного тока с ЭДС $E$ и внутренним сопротивлением r (см. рисунок). Определите энергию конденсатора $C_{2}$ .
Источник: ФИПИ
Задача из тех, где полдела — правильно прочитать схему. На рисунке от левого провода к правому идут две параллельные дорожки: в верхней друг за другом стоят $C_1$ и $C_2$, в нижней — $C_3$ и $C_4$. Середины обеих дорожек соединены проводом (в этих точках на рисунке нарисованы жирные узлы), поэтому средняя точка у них общая — назовём её $M$. Спрашивают энергию только одного конденсатора, $C_2$, а для этого нужно узнать напряжение именно на нём.
Шаг 1 — перерисуем схему. Если средняя точка общая, то $C_1$ и $C_3$ подключены к одной и той же паре точек (левый провод и $M$) — они параллельны. И $C_2$ с $C_4$ тоже параллельны (между $M$ и правым проводом). Ёмкости при параллельном соединении складываются: $C_{13}=2C+4C=6C$ и $C_{24}=C+2C=3C$.
Шаг 2 — какое напряжение приложено ко всей батарее. Через конденсаторы постоянный ток не течёт, поэтому в установившемся режиме ток в цепи равен нулю, на внутреннем сопротивлении ничего не падает ($Ir=0$), и вся ЭДС достаётся батарее: $U_{общ}=E$. Величина $r$ в ответ не войдёт.
Шаг 3 — общая ёмкость. Две сборки соединены последовательно: $\dfrac{1}{C_{общ}}=\dfrac{1}{6C}+\dfrac{1}{3C}=\dfrac{1+2}{6C}=\dfrac{1}{2C}$, значит $C_{общ}=2C$.
Шаг 4 — заряд. При последовательном соединении через обе сборки проходит один и тот же заряд, равный заряду всей батареи: $q=C_{общ}U_{общ}=2CE$.
Шаг 5 — напряжение на нужной сборке. Этот заряд «сидит» на сборке $C_{24}$, поэтому напряжение на ней: $U_{24}=\dfrac{q}{C_{24}}=\dfrac{2CE}{3C}=\dfrac{2E}{3}$. А раз $C_2$ и $C_4$ соединены параллельно, на каждом из них одно и то же напряжение, значит и на $C_2$ тоже $U_2=\dfrac{2E}{3}$.
Шаг 6 — энергия. $W_2=\dfrac{C_2U_2^2}{2}=\dfrac{C}{2}\left(\dfrac{2E}{3}\right)^2=\dfrac{C}{2}\cdot\dfrac{4E^2}{9}=\dfrac{2CE^2}{9}$.
Проверим себя балансом напряжений: на сборке $C_{13}$ напряжение равно $\dfrac{q}{C_{13}}=\dfrac{2CE}{6C}=\dfrac{E}{3}$. Сумма: $\dfrac{E}{3}+\dfrac{2E}{3}=E$ — как раз всё приложенное напряжение. Сходится. Заметь закономерность: на меньшей ёмкости оказалось большее напряжение — так всегда бывает при последовательном соединении.
Обоснование модели. Работают: правила сложения ёмкостей при параллельном ($C=C_a+C_b$) и последовательном ($\dfrac{1}{C}=\dfrac{1}{C_a}+\dfrac{1}{C_b}$) соединениях; определение электроёмкости $q=CU$ и утверждение, что при последовательном соединении заряды на участках одинаковы (это следствие закона сохранения заряда для изолированного участка между конденсаторами); закон Ома для полной цепи в предельном случае нулевого тока, который и даёт $U_{общ}=E$; формула энергии заряженного конденсатора $W=\dfrac{CU^2}{2}$. Всё это справедливо для установившегося состояния — когда переходные процессы зарядки закончились.