ID: 00026605
В электрической цепи, показанной на рисунке, $r=1$ Ом, $R_1=4$ Ом, $R_2=7$ Ом, $C=0{,}2$ мкФ, ключ К длительное время находится в положении 1. За длительное время после перевода ключа К в положение 2 изменение заряда на правой обкладке конденсатора $\Delta q=-0{,}55$ мкКл. Найдите ЭДС источника $\mathcal{E}$.
Источник: ФИПИ
Сначала прочитаем схему. Источник с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r=1$ Ом подключён к цепочке из двух резисторов: $R_1=4$ Ом сверху, $R_2=7$ Ом снизу, соединены они последовательно. Точку между ними назовём $M$. От точки $M$ отходит конденсатор, и его правая обкладка через ключ К подключается либо к верхней шине (положение 1), либо к нижней (положение 2). То есть конденсатор сначала «сидит» параллельно $R_1$, а потом — параллельно $R_2$.
Шаг 1 — ток в цепи. Конденсатор постоянный ток не пропускает, поэтому в обоих положениях ключа ток идёт по одному и тому же пути: источник — $R_1$ — $R_2$. По закону Ома для полной цепи $I=\dfrac{\mathcal{E}}{r+R_1+R_2}=\dfrac{\mathcal{E}}{1+4+7}=\dfrac{\mathcal{E}}{12}$. Заметь: ток одинаков и до, и после переключения — перестановка конденсатора на него никак не влияет.
Шаг 2 — расставим потенциалы. Примем потенциал нижней шины за ноль. Тогда потенциал точки $M$ равен падению напряжения на $R_2$: $\varphi_M=IR_2=\dfrac{7\mathcal{E}}{12}$. Потенциал верхней шины равен падению на обоих резисторах: $\varphi_{в}=I(R_1+R_2)=\dfrac{11\mathcal{E}}{12}$. Это же напряжение на клеммах источника: $\mathcal{E}-Ir=\mathcal{E}-\dfrac{\mathcal{E}}{12}=\dfrac{11\mathcal{E}}{12}$ — сходится.
Шаг 3 — заряд правой обкладки в положении 1. Левая обкладка сидит в точке $M$, правая — на верхней шине. Заряд обкладки равен ёмкости, умноженной на разность потенциалов «своя минус чужая»: $q_1=C(\varphi_{в}-\varphi_M)=C\left(\dfrac{11\mathcal{E}}{12}-\dfrac{7\mathcal{E}}{12}\right)=C\dfrac{4\mathcal{E}}{12}=\dfrac{C\mathcal{E}}{3}$. Заряд положительный: правая обкладка «смотрит» на плюс.
Шаг 4 — заряд правой обкладки в положении 2. Теперь правая обкладка на нижней шине, где потенциал равен нулю: $q_2=C(0-\varphi_M)=-C\dfrac{7\mathcal{E}}{12}$. Знак сменился на минус — правая обкладка теперь оказалась со стороны минуса.
Шаг 5 — изменение заряда. $\Delta q=q_2-q_1=-\dfrac{7C\mathcal{E}}{12}-\dfrac{4C\mathcal{E}}{12}=-\dfrac{11C\mathcal{E}}{12}$. Отрицательный знак в условии как раз об этом и говорит: обкладка была заряжена положительно, а стала отрицательно, поэтому изменение вышло большим по модулю — оно складывается из двух кусков.
Шаг 6 — считаем ЭДС. Выразим: $\mathcal{E}=\dfrac{12|\Delta q|}{11C}=\dfrac{12\cdot0{,}55\cdot10^{-6}}{11\cdot0{,}2\cdot10^{-6}}=\dfrac{6{,}6\cdot10^{-6}}{2{,}2\cdot10^{-6}}=3$ В.
Проверим обратным ходом: при $\mathcal{E}=3$ В ток $I=3/12=0{,}25$ А, напряжение на $R_1$ равно $1$ В, на $R_2$ — $1{,}75$ В. Заряд правой обкладки был $0{,}2\cdot10^{-6}\cdot1=0{,}2$ мкКл, стал $-0{,}2\cdot10^{-6}\cdot1{,}75=-0{,}35$ мкКл. Изменение: $-0{,}35-0{,}2=-0{,}55$ мкКл — ровно как в условии.
Обоснование модели. Используются: закон Ома для полной цепи $I=\dfrac{\mathcal{E}}{r+R_1+R_2}$ (резисторы соединены последовательно, потому сопротивления складываются); утверждение, что через конденсатор постоянный ток не течёт, — именно оно позволяет считать ток одинаковым в обоих положениях ключа и говорить об установившемся состоянии («за длительное время»); определение электроёмкости $q=CU$, где $U$ — разность потенциалов между обкладками. Знаки заряда обкладки отслеживаются через потенциалы точек схемы: без этого получился бы ответ вдвое-втрое меньше, потому что заряд не просто изменился по величине, а сменил знак.