ID: 00026621
К аккумулятору с ЭДС 50 В и внутренним сопротивлением 4 Ом подключили лампу сопротивлением 10 Ом и резистор сопротивлением 15 Ом, а также конденсатор ёмкостью 100 мкФ (см. рисунок). Спустя длительный промежуток времени ключ К размыкают. Какое количество теплоты выделится после этого на лампе?
Источник: ФИПИ
Главное в этой задаче — не перепутать, как соединены элементы. Посмотри на рисунок внимательно: лампа, резистор и конденсатор нарисованы тремя отдельными «столбиками» между верхним и нижним проводом. Значит, все трое соединены ПАРАЛЛЕЛЬНО друг другу, и напряжение у них общее. Аккумулятор с ключом К подключён к тем же двум проводам.
Шаг 1 — сопротивление внешней цепи. Пока ключ замкнут и всё установилось, через конденсатор ток не идёт, поэтому ток делится только между лампой и резистором. Для параллельного соединения $R_{пар}=\dfrac{R_лR}{R_л+R}=\dfrac{10\cdot15}{10+15}=\dfrac{150}{25}=6$ Ом.
Шаг 2 — ток из аккумулятора. Закон Ома для полной цепи: $I=\dfrac{\mathcal{E}}{r+R_{пар}}=\dfrac{50}{4+6}=\dfrac{50}{10}=5$ А.
Шаг 3 — напряжение на конденсаторе. Конденсатор подключён к тем же узлам, что лампа и резистор, поэтому на нём то же напряжение, что и на параллельной паре: $U=IR_{пар}=5\cdot6=30$ В. Заметь, что это заметно меньше ЭДС: $20$ В из $50$ теряется на внутреннем сопротивлении ($Ir=5\cdot4=20$ В).
Шаг 4 — запасённая энергия. $W=\dfrac{CU^2}{2}=\dfrac{100\cdot10^{-6}\cdot30^2}{2}=\dfrac{100\cdot10^{-6}\cdot900}{2}=\dfrac{0{,}09}{2}=0{,}045$ Дж.
Шаг 5 — что будет после размыкания. Аккумулятор отрезан, и заряженному конденсатору остаётся один путь — разряжаться через лампу и резистор, которые по-прежнему включены параллельно ему. Разряд идёт до нуля, и вся энергия конденсатора превращается в тепло: $Q_{общ}=W=0{,}045$ Дж.
Шаг 6 — как тепло делится. Тут важное отличие от привычного случая: лампа и резистор соединены ПАРАЛЛЕЛЬНО, поэтому у них общее напряжение, а не общий ток. Мощность считаем как $P=\dfrac{U^2}{R}$ — значит, больше греется тот, у кого сопротивление МЕНЬШЕ. Доля лампы: $\dfrac{Q_л}{Q_{общ}}=\dfrac{1/R_л}{1/R_л+1/R}=\dfrac{R}{R_л+R}=\dfrac{15}{25}=0{,}6$.
Шаг 7 — считаем. $Q_л=0{,}6\cdot0{,}045=0{,}027$ Дж, то есть $27$ мДж. На резисторе выделится оставшиеся $0{,}018$ Дж — в сумме как раз $0{,}045$ Дж.
Обрати внимание сразу на две ловушки. Первая — взять для энергии конденсатора ЭДС $50$ В вместо реальных $30$ В. Вторая — поделить тепло пропорционально сопротивлениям, как при последовательном соединении; здесь всё наоборот, потому что соединение параллельное.
Обоснование модели. Работают: правило параллельного соединения проводников $\dfrac{1}{R_{пар}}=\dfrac{1}{R_л}+\dfrac{1}{R}$; утверждение, что через конденсатор постоянный ток не течёт, — оно и позволяет в установившемся режиме исключить конденсатор из расчёта тока; закон Ома для полной цепи $I=\dfrac{\mathcal{E}}{r+R_{пар}}$ и для участка $U=IR_{пар}$; формула энергии заряженного конденсатора $W=\dfrac{CU^2}{2}$; закон сохранения энергии вместе с законом Джоуля–Ленца в форме $P=\dfrac{U^2}{R}$, откуда и берётся деление тепла обратно пропорционально сопротивлениям при параллельном соединении. Сопротивление лампы считаем постоянным, как задано в условии.