ID: 00026595
В электрической цепи, показанной на рисунке, ЭДС источника тока равна 9 В; емкость конденсатора 10 мФ; индуктивность катушки 20 мГн и сопротивление резистора 3 Ом. В начальный момент времени ключ К замкнут. Какая энергия выделится в лампе после размыкания ключа? Внутренним сопротивлением источника тока пренебречь. Сопротивлением катушки и проводов пренебречь.
Источник: ФИПИ
Схему надо читать внимательно: последовательно с источником стоит резистор $3$ Ом, а дальше цепь раздваивается. Одна ветвь — лампа и конденсатор, соединённые последовательно; вторая ветвь — катушка. Это важно, потому что от разводки зависит, что успеет накопиться к моменту размыкания ключа.
Шаг 1 — куда идёт постоянный ток. Через конденсатор постоянный ток не течёт, значит ветвь «лампа + конденсатор» обесточена, и лампа при замкнутом ключе не горит. Весь ток идёт по контуру источник — резистор — катушка. Катушка идеальная, при установившемся токе она не сопротивляется, внутренним сопротивлением источника условие велит пренебречь, поэтому $$I=\frac{\mathcal{E}}{R}=\frac{9}{3}=3\ \text{А}.$$
Шаг 2 — заряжен ли конденсатор. На идеальной катушке падения напряжения нет, значит верхний и нижний узлы имеют одинаковый потенциал, и на всей ветви «лампа + конденсатор» напряжение равно нулю. Тока в этой ветви тоже нет, поэтому на лампе не падает ничего, и всё нулевое напряжение достаётся конденсатору: $$U_{C}=0\quad\Rightarrow\quad W_{C}=\frac{CU_{C}^{2}}{2}=0.$$ Ёмкость $10$ мФ в ответ не войдёт — конденсатор пуст, он лишь будет участвовать в колебаниях после размыкания.
Шаг 3 — что запасла катушка. $$W_{L}=\frac{LI^{2}}{2}=\frac{20\cdot10^{-3}\cdot3^{2}}{2}=\frac{2\cdot10^{-2}\cdot9}{2}=9\cdot10^{-2}\ \text{Дж}=0{,}09\ \text{Дж}.$$
Шаг 4 — что происходит после размыкания. Источник вместе с резистором выпадает из цепи, и остаётся замкнутое кольцо: катушка — лампа — конденсатор. В нём начинаются затухающие электромагнитные колебания: ток из катушки перекачивает заряд в конденсатор, потом обратно, и так далее, пока всё не затихнет. Единственный элемент с сопротивлением в этом кольце — лампа.
Шаг 5 — итог по закону сохранения энергии. Вся энергия, запасённая к моменту размыкания, превращается в теплоту на лампе: $$W=W_{L}+W_{C}=0{,}09+0=0{,}09\ \text{Дж}=90\ \text{мДж}.$$
Стоит отдельно отметить главную ловушку этой задачи. Здесь легко «по привычке» решить, что конденсатор заряжен до ЭДС, и прибавить $\dfrac{CU^{2}}{2}$. Но разводка другая: конденсатор стоит последовательно с лампой, а не параллельно источнику, и при замкнутом ключе он остаётся незаряженным. Проверить это просто: раз тока через лампу нет, а катушка не держит напряжения, то и на конденсаторе взяться напряжению неоткуда.
Почему модель именно такая. Используются: свойство конденсатора не пропускать постоянный ток (отсюда обесточенная ветвь и $U_{C}=0$); отсутствие ЭДС самоиндукции у идеальной катушки при постоянном токе, из-за чего на ней нет падения напряжения, а закон Ома для полной цепи даёт $I=\dfrac{\mathcal{E}}{R}$; формулы энергии магнитного поля катушки $\dfrac{LI^{2}}{2}$ и электрического поля конденсатора $\dfrac{CU^{2}}{2}$; и закон сохранения энергии для оставшегося после размыкания контура, где нет источника, а единственным потребителем является лампа.