Тонкие Линзы… — Задание 25 ЕГЭ по физике №00043187

Что тут происходит. Перед собирающей линзой оптической силой $50$ дптр качается маятник. В крайних положениях груз оказывается на главной оптической оси, и линза даёт действительные изображения этих точек. Нужно найти расстояние между изображениями.

Модель. Груз движется по дуге, но для задачи важны лишь крайние положения: в них он лежит на главной оси (так сказано в условии). Изображение точки, лежащей на главной оси тонкой линзы, тоже лежит на этой оси, поэтому ищем только расстояния вдоль оси.

Шаг 1 — фокусное расстояние: $F=\dfrac{1}{D}=\dfrac{1}{50}=0{,}02$ м $=2$ см. Остальные размеры даны в сантиметрах, будем считать в них.

Шаг 2 — расстояния крайних точек от линзы. По рисунку равновесное положение нити — на $l=\sqrt5\approx2{,}24$ см перед передним фокусом, крайние точки отстоят от него на $A=1$ см. Ближняя к линзе: $d_1=F+l-A=2+2{,}24-1=3{,}24$ см. Дальняя: $d_2=F+l+A=2+2{,}24+1=5{,}24$ см. Обе дальше фокуса, изображения действительные.

Шаг 3 — формула тонкой линзы для каждой точки: $\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F}$, откуда $f=\dfrac{Fd}{d-F}$. $$f_1=\frac{2\cdot3{,}24}{3{,}24-2}=\frac{6{,}48}{1{,}24}\approx5{,}24\ \text{см},\qquad f_2=\frac{2\cdot5{,}24}{5{,}24-2}=\frac{10{,}48}{3{,}24}\approx3{,}24\ \text{см}.$$ Как и положено, ближний к линзе предмет даёт более далёкое изображение.

Шаг 4 — расстояние между изображениями: $$\Delta=f_1-f_2\approx5{,}24-3{,}24=2\ \text{см}.$$

Проверим себя точным расчётом по формуле Ньютона $xx'=F^2$, где $x$ и $x'$ отсчитаны от фокусов: $$\Delta=\frac{F^2}{l-A}-\frac{F^2}{l+A}=\frac{F^2\cdot2A}{l^2-A^2}=\frac{4\cdot2}{5-1}=2\ \text{см}.$$ Совпало, и уже без округлений.