Тонкие Линзы (нет… — Задание ЕГЭ по физике №00026609

Вообрази прямую — главную оптическую ось. На ней стоит тонкая собирающая линза, а по обе стороны от неё, на одной и той же прямой, светят два точечных источника. Один из них на расстоянии $x=50$ см от линзы, второй — где-то с другой стороны, и общее расстояние между источниками равно $L$. Каждый источник линза «перерисовывает» в своё изображение, и по условию оба изображения попадают в одну и ту же точку. Из этого совпадения и найдём $L$.

Шаг 1 — фокусное расстояние. Оптическая сила $D=1{,}5$ дптр, значит $F=\dfrac{1}{D}=\dfrac{1}{1{,}5}=\dfrac{2}{3}$ м $\approx66{,}7$ см. Сразу заметим важное: первый источник стоит на $50$ см, то есть БЛИЖЕ фокуса.

Шаг 2 — что даёт положение внутри фокуса. Если предмет ближе фокуса, собирающая линза не может свести лучи — после линзы они всё ещё расходятся, и изображение получается мнимым, по ту же сторону от линзы, что и сам источник. Проверим формулой тонкой линзы, записанной через оптическую силу: $\dfrac{1}{d_1}+\dfrac{1}{f_1}=D$, откуда $\dfrac{1}{f_1}=D-\dfrac{1}{d_1}=1{,}5-\dfrac{1}{0{,}5}=1{,}5-2=-0{,}5\ \text{м}^{-1}$, то есть $f_1=-2$ м. Минус подтверждает: изображение мнимое и находится на расстоянии $2$ м от линзы с той же стороны, где стоит первый источник.

Шаг 3 — где обязано оказаться изображение второго источника. Оно должно попасть В ТУ ЖЕ ТОЧКУ — то есть на расстояние $2$ м от линзы с той стороны, где стоит первый источник. Но для второго источника эта сторона — противоположная, «дальняя». Значит, для второго источника изображение действительное и лежит на расстоянии $f_2=2$ м.

Шаг 4 — находим расстояние до второго источника. Снова формула тонкой линзы: $\dfrac{1}{d_2}=D-\dfrac{1}{f_2}=1{,}5-\dfrac{1}{2}=1{,}5-0{,}5=1\ \text{м}^{-1}$, значит $d_2=1$ м $=100$ см.

Шаг 5 — складываем. Источники по разные стороны от линзы, поэтому расстояние между ними — это сумма расстояний до линзы: $L=d_1+d_2=50+100=150$ см $=1{,}5$ м.

Проверим логику ещё раз «на пальцах». Первый источник близко — линза делает из него мнимое изображение далеко-далеко, за $2$ м. Второй источник стоит дальше фокуса, поэтому его лучи линза честно собирает, и точка сбора приходится ровно на $2$ м с другой стороны. Обе точки — одна и та же точка пространства, и наблюдатель увидит там как бы один яркий источник.

Как рисовать. На первом рисунке: ось, линза, фокусы на $\approx66{,}7$ см. Источник на оси в $50$ см. От него пусти произвольный луч под углом к оси; преломлённый луч найди с помощью побочной оптической оси и фокальной плоскости. Продолжи преломлённый луч НАЗАД пунктиром — пересечение продолжений с осью и даст мнимое изображение на $2$ м. На втором рисунке: источник по другую сторону на $100$ см, тот же приём с побочной осью, но теперь преломлённые лучи реально сходятся на оси на $2$ м — это действительное изображение. Точки на обоих рисунках должны совпасть.

Обоснование модели. Линза тонкая, источники точечные и лежат на главной оптической оси, поэтому применима формула тонкой линзы $\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F}=D$ в параксиальном приближении (для лучей, идущих под малыми углами к оси). Знак $f$ несёт физический смысл: $f\gt0$ — изображение действительное и лежит за линзой по ходу лучей, $f\lt0$ — мнимое и лежит перед линзой. Именно правило знаков позволяет «поймать» тот факт, что источник внутри фокуса даёт мнимое изображение, и понять, как два разных изображения могут оказаться в одной точке. Оптическая сила связана с фокусным расстоянием как $D=\dfrac{1}{F}$, и считать удобно прямо в дптр и метрах.