ID: 00026628
Груз на пружине совершает гармонические колебания перпендикулярно главной оптической оси собирающей линзы с оптической силой 5 дптр (см. рисунок). С помощью этой линзы получено чёткое изображение груза на экране, находящемся на расстоянии 0,5 м от линзы. Амплитуда колебаний изображения равна 0,1 м, максимальная скорость изображения равна 1 м/с. Определите максимальное ускорение груза, считая размеры груза пренебрежимо малыми по сравнению с фокусным расстоянием линзы.
Источник: ФИПИ
Тут две задачи в одной обёртке. Про изображение на экране нам известно сразу два параметра колебаний — амплитуда и максимальная скорость, и этого хватает, чтобы найти частоту. А чтобы перейти от изображения к самому грузу, нужна линза: она увеличивает все поперечные размеры в $\Gamma$ раз, а вместе с ними — амплитуду, скорость и ускорение.
Шаг 1 — находим увеличение линзы. Фокусное расстояние $F=\dfrac{1}{D}=\dfrac{1}{5}=0{,}2$ м. Изображение чёткое на экране, значит $f=0{,}5$ м. По формуле тонкой линзы $\dfrac{1}{d}=D-\dfrac{1}{f}=5-2=3\ \text{м}^{-1}$, то есть $d=\dfrac{1}{3}$ м. Тогда $\Gamma=\dfrac{f}{d}=\dfrac{0{,}5}{1/3}=1{,}5$.
Шаг 2 — циклическая частота колебаний. Она одинакова у груза и у изображения: изображение повторяет движение груза в тот же момент времени, просто в увеличенном масштабе. Для гармонических колебаний максимальная скорость связана с амплитудой как $\upsilon_{max}=\omega A$. Берём данные изображения: $\omega=\dfrac{\upsilon_{max,изобр}}{A_{изобр}}=\dfrac{1}{0{,}1}=10$ рад/с.
Шаг 3 — амплитуда самого груза. Изображение крупнее груза в $\Gamma$ раз, значит амплитуда груза меньше во столько же раз: $A_{гр}=\dfrac{A_{изобр}}{\Gamma}=\dfrac{0{,}1}{1{,}5}=\dfrac{1}{15}\approx0{,}067$ м.
Шаг 4 — максимальное ускорение. Для гармонических колебаний $a_{max}=\omega^2A$. Значит $a_{max,гр}=\omega^2A_{гр}=10^2\cdot\dfrac{1}{15}=\dfrac{100}{15}\approx6{,}7\ \text{м}/\text{с}^2$.
Тот же ответ можно получить и по-другому, если хочется меньше промежуточных величин: сначала найти максимальное ускорение изображения $a_{max,изобр}=\omega\upsilon_{max,изобр}=10\cdot1=10\ \text{м}/\text{с}^2$, а потом поделить на увеличение: $\dfrac{10}{1{,}5}\approx6{,}7\ \text{м}/\text{с}^2$. Совпало — хороший знак.
Проверим себя ещё и через период: $T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{10}\approx0{,}63$ с. Груз на пружине с периодом чуть больше полсекунды, размах колебаний около $6{,}7$ см — вполне реалистичный школьный опыт.
Обоснование модели. Груз колеблется ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО главной оптической оси, поэтому его расстояние до линзы не меняется, увеличение $\Gamma$ остаётся постоянным на протяжении всех колебаний, и один и тот же множитель связывает координаты, скорости и ускорения груза и изображения. Использованы: связь оптической силы и фокусного расстояния $D=\dfrac{1}{F}$; формула тонкой линзы $\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=D$ (изображение действительное, ловится на экран); формула линейного увеличения $\Gamma=\dfrac{f}{d}$; кинематика гармонических колебаний — $\upsilon_{max}=\omega A$ и $a_{max}=\omega^2A$. Размеры груза по условию пренебрежимо малы по сравнению с фокусным расстоянием, значит колебания происходят вблизи оси и приближение тонкой линзы (параксиальное) применимо.