ID: 00026622
Груз на пружине совершает гармонические колебания перпендикулярно главной оптической оси собирающей линзы с оптической силой 5 дптр (см. рисунок). С помощью этой линзы получено чёткое изображение груза на экране, находящемся на расстоянии 0,5 м от линзы. Максимальная скорость изображения равна 1 м/с. Определите максимальную скорость самого груза, считая груз материальной точкой.
Источник: ФИПИ
Смешение двух тем в одной задаче: механические колебания и линза. Груз на пружине прыгает вверх-вниз, то есть поперёк главной оптической оси линзы, а линза рисует его изображение на экране. Изображение, разумеется, тоже прыгает — и в \Gamma раз размашистее, где \Gamma — увеличение линзы. Во столько же раз быстрее оно и движется. Значит, всё сводится к тому, чтобы найти увеличение.
Шаг 1 — фокусное расстояние. F=\dfrac{1}{D}=\dfrac{1}{5}=0{,}2 м.
Шаг 2 — где стоит груз. Изображение чёткое на экране, значит расстояние до изображения равно расстоянию до экрана: f=0{,}5 м. Из формулы тонкой линзы \dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=D получаем \dfrac{1}{d}=5-\dfrac{1}{0{,}5}=5-2=3\ \text{м}^{-1}, то есть d=\dfrac{1}{3} м \approx0{,}33 м.
Шаг 3 — увеличение. \Gamma=\dfrac{f}{d}=\dfrac{0{,}5}{1/3}=0{,}5\cdot3=1{,}5. Изображение в полтора раза крупнее груза.
Шаг 4 — почему скорости связаны тем же множителем. Груз колеблется поперёк оси, значит его смещение от оси в любой момент равно y(t), а смещение изображения — Y(t)=\Gamma\,y(t) (увеличение постоянно, потому что вдоль оси груз не двигается и его расстояние до линзы не меняется). Если координата всё время больше в \Gamma раз, то и скорость её изменения больше в \Gamma раз: \upsilon_{изобр}=\Gamma\,\upsilon_{гр}. То же верно и для максимальных значений.
Шаг 5 — считаем. \upsilon_{гр}=\dfrac{\upsilon_{изобр}}{\Gamma}=\dfrac{1}{1{,}5}=\dfrac{2}{3}\approx0{,}67 м/с.
Проверим, что не перепутали, где делить, а где умножать: изображение крупнее груза, значит за то же время оно проходит больший путь и движется БЫСТРЕЕ. Раз скорость изображения 1 м/с, скорость груза должна быть меньше — и 0{,}67\ \text{м}/\text{с}\lt1\ \text{м}/\text{с}. Логика сходится.
Обоснование модели. Груз считаем материальной точкой, колеблющейся перпендикулярно главной оптической оси, поэтому его расстояние до линзы постоянно и увеличение \Gamma не меняется во время колебаний — только это и позволяет применить один множитель ко всему движению. Использованы: связь оптической силы и фокусного расстояния D=\dfrac{1}{F}; формула тонкой линзы \dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=D (изображение действительное, ловится на экран, поэтому f\gt0 и равно расстоянию до экрана); формула линейного увеличения \Gamma=\dfrac{f}{d}; кинематическое утверждение, что при пропорциональной связи координат такая же пропорция связывает и скорости. Всё это верно в параксиальном приближении, то есть пока амплитуда колебаний мала по сравнению с фокусным расстоянием.