Тонкие Линзы (нет… — Задание ЕГЭ по физике №00026622

Смешение двух тем в одной задаче: механические колебания и линза. Груз на пружине прыгает вверх-вниз, то есть поперёк главной оптической оси линзы, а линза рисует его изображение на экране. Изображение, разумеется, тоже прыгает — и в $\Gamma$ раз размашистее, где $\Gamma$ — увеличение линзы. Во столько же раз быстрее оно и движется. Значит, всё сводится к тому, чтобы найти увеличение.

Шаг 1 — фокусное расстояние. $F=\dfrac{1}{D}=\dfrac{1}{5}=0{,}2$ м.

Шаг 2 — где стоит груз. Изображение чёткое на экране, значит расстояние до изображения равно расстоянию до экрана: $f=0{,}5$ м. Из формулы тонкой линзы $\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=D$ получаем $\dfrac{1}{d}=5-\dfrac{1}{0{,}5}=5-2=3\ \text{м}^{-1}$, то есть $d=\dfrac{1}{3}$ м $\approx0{,}33$ м.

Шаг 3 — увеличение. $\Gamma=\dfrac{f}{d}=\dfrac{0{,}5}{1/3}=0{,}5\cdot3=1{,}5$. Изображение в полтора раза крупнее груза.

Шаг 4 — почему скорости связаны тем же множителем. Груз колеблется поперёк оси, значит его смещение от оси в любой момент равно $y(t)$, а смещение изображения — $Y(t)=\Gamma\,y(t)$ (увеличение постоянно, потому что вдоль оси груз не двигается и его расстояние до линзы не меняется). Если координата всё время больше в $\Gamma$ раз, то и скорость её изменения больше в $\Gamma$ раз: $\upsilon_{изобр}=\Gamma\,\upsilon_{гр}$. То же верно и для максимальных значений.

Шаг 5 — считаем. $\upsilon_{гр}=\dfrac{\upsilon_{изобр}}{\Gamma}=\dfrac{1}{1{,}5}=\dfrac{2}{3}\approx0{,}67$ м/с.

Проверим, что не перепутали, где делить, а где умножать: изображение крупнее груза, значит за то же время оно проходит больший путь и движется БЫСТРЕЕ. Раз скорость изображения $1$ м/с, скорость груза должна быть меньше — и $0{,}67\ \text{м}/\text{с}\lt1\ \text{м}/\text{с}$. Логика сходится.

Обоснование модели. Груз считаем материальной точкой, колеблющейся перпендикулярно главной оптической оси, поэтому его расстояние до линзы постоянно и увеличение $\Gamma$ не меняется во время колебаний — только это и позволяет применить один множитель ко всему движению. Использованы: связь оптической силы и фокусного расстояния $D=\dfrac{1}{F}$; формула тонкой линзы $\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=D$ (изображение действительное, ловится на экран, поэтому $f\gt0$ и равно расстоянию до экрана); формула линейного увеличения $\Gamma=\dfrac{f}{d}$; кинематическое утверждение, что при пропорциональной связи координат такая же пропорция связывает и скорости. Всё это верно в параксиальном приближении, то есть пока амплитуда колебаний мала по сравнению с фокусным расстоянием.