Тонкие Линзы (нет… — Задание ЕГЭ по физике №00026624

Задача с подвохом: линзу поворачивают, а источник остаётся на месте. После поворота прямая $AB$ перестаёт быть главной оптической осью — новая ось наклонена к ней на угол $\alpha$. Поэтому нельзя просто подставить прежние $40$ см в формулу линзы: расстояние до предмета в этой формуле отсчитывается ПО ОСИ, то есть по перпендикуляру к плоскости линзы.

Шаг 1 — исходное положение. $F=0{,}2$ м $=20$ см, $d=40$ см. Формула тонкой линзы: $\dfrac{1}{f_0}=\dfrac{1}{F}-\dfrac{1}{d}=\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{40}=\dfrac{2-1}{40}=\dfrac{1}{40}$, значит $f_0=40$ см. (Источник стоит в двойном фокусе — классический случай, когда изображение получается на таком же расстоянии по другую сторону.)

Шаг 2 — где остаётся изображение после поворота. Луч, идущий через оптический центр линзы, не преломляется — это верно и для наклонённой линзы, ведь у тонкой линзы в центре поверхности параллельны. Источник $S$ и центр линзы $O$ оба лежат на прямой $AB$, значит неотклонённый луч идёт вдоль $AB$. А раз изображение обязано лежать на этом луче, оно остаётся НА ПРЯМОЙ $AB$ — просто съезжает по ней. Именно поэтому в условии и говорится о смещении вдоль $AB$.

Шаг 3 — новое расстояние до предмета. В формулу тонкой линзы входит расстояние от предмета до плоскости линзы, отмеренное вдоль оптической оси, то есть по перпендикуляру к линзе. Отрезок $SO$ длиной $40$ см теперь наклонён к оси на угол $\alpha$, поэтому его проекция на ось равна $d'=d\cos\alpha=40\cos\alpha$.

Шаг 4 — расстояние до изображения вдоль оси. Снова формула линзы: $\dfrac{1}{f'}=\dfrac{1}{F}-\dfrac{1}{d'}=\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{40\cos\alpha}$.

Шаг 5 — переводим обратно на прямую $AB$. Изображение лежит на прямой $AB$, а его расстояние от линзы вдоль оси равно $f'$. Прямая $AB$ наклонена к оси на тот же угол $\alpha$, поэтому расстояние от центра линзы до изображения, отмеренное ПО ПРЯМОЙ $AB$, равно $x=\dfrac{f'}{\cos\alpha}$.

Шаг 6 — сворачиваем в одну формулу. $\dfrac{1}{x}=\dfrac{\cos\alpha}{f'}=\cos\alpha\left(\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{40\cos\alpha}\right)=\dfrac{\cos\alpha}{20}-\dfrac{1}{40}=\dfrac{2\cos\alpha-1}{40}$. Значит $x=\dfrac{40}{2\cos\alpha-1}$. Проверим при $\alpha=0$: $x=\dfrac{40}{2-1}=40$ см — совпадает с первым шагом, формула верна.

Шаг 7 — куда поехало изображение. С ростом угла $\cos\alpha$ уменьшается, знаменатель $2\cos\alpha-1$ тоже уменьшается, значит $x$ РАСТЁТ. Изображение уходит от линзы, поэтому новое расстояние $x=40+10=50$ см.

Шаг 8 — находим угол. $50=\dfrac{40}{2\cos\alpha-1}$, отсюда $2\cos\alpha-1=\dfrac{40}{50}=0{,}8$, значит $\cos\alpha=0{,}9$ и $\alpha=\arccos0{,}9\approx26^\circ$.

Как рисовать чертёж. Первый случай: ось $AB$, линза перпендикулярна ей, фокусы на $20$ см, источник на $40$ см; два луча от $S$ (один через центр — идёт прямо по оси... поэтому построение ведут вспомогательным лучом под углом, находя его преломлённое направление через побочную ось и фокальную плоскость) сходятся на $40$ см справа. Второй случай: та же линза, но повёрнутая на угол $\alpha$; проведи новую главную ось через $O$, покажи проекцию $SO$ на неё длиной $40\cos\alpha$ и построй изображение — оно снова окажется на прямой $AB$, но уже на $50$ см от центра.

Обоснование модели. Линза тонкая, лучи параксиальные — работает формула тонкой линзы $\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F}$, причём и $d$, и $f$ по определению отсчитываются вдоль главной оптической оси, то есть по перпендикуляру к плоскости линзы; именно это и заставляет ввести $d'=d\cos\alpha$. Утверждение, что луч через оптический центр не преломляется, обосновывает главный вывод — изображение остаётся на прямой $AB$; без него задача была бы неразрешима. Фокусное расстояние при повороте не меняется, потому что сама линза остаётся той же. Приближение малости размеров источника здесь не нужно — источник точечный по условию.