ID: 00026624
Точечный источник света S расположен на расстоянии 40 см от оптического центра тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием 0,2 м на её главной оптической оси AB . При повороте линзы на угол α относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через её оптический центр, изображение источника сместилось вдоль прямой AB на 10 см. Определите угол поворота линзы. Сделайте пояснительный чертёж, указав ход лучей в линзе для обоих случаев её расположения.
Источник: ФИПИ
Задача с подвохом: линзу поворачивают, а источник остаётся на месте. После поворота прямая AB перестаёт быть главной оптической осью — новая ось наклонена к ней на угол \alpha. Поэтому нельзя просто подставить прежние 40 см в формулу линзы: расстояние до предмета в этой формуле отсчитывается ПО ОСИ, то есть по перпендикуляру к плоскости линзы.
Шаг 1 — исходное положение. F=0{,}2 м =20 см, d=40 см. Формула тонкой линзы: \dfrac{1}{f_0}=\dfrac{1}{F}-\dfrac{1}{d}=\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{40}=\dfrac{2-1}{40}=\dfrac{1}{40}, значит f_0=40 см. (Источник стоит в двойном фокусе — классический случай, когда изображение получается на таком же расстоянии по другую сторону.)
Шаг 2 — где остаётся изображение после поворота. Луч, идущий через оптический центр линзы, не преломляется — это верно и для наклонённой линзы, ведь у тонкой линзы в центре поверхности параллельны. Источник S и центр линзы O оба лежат на прямой AB, значит неотклонённый луч идёт вдоль AB. А раз изображение обязано лежать на этом луче, оно остаётся НА ПРЯМОЙ AB — просто съезжает по ней. Именно поэтому в условии и говорится о смещении вдоль AB.
Шаг 3 — новое расстояние до предмета. В формулу тонкой линзы входит расстояние от предмета до плоскости линзы, отмеренное вдоль оптической оси, то есть по перпендикуляру к линзе. Отрезок SO длиной 40 см теперь наклонён к оси на угол \alpha, поэтому его проекция на ось равна d'=d\cos\alpha=40\cos\alpha.
Шаг 4 — расстояние до изображения вдоль оси. Снова формула линзы: \dfrac{1}{f'}=\dfrac{1}{F}-\dfrac{1}{d'}=\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{40\cos\alpha}.
Шаг 5 — переводим обратно на прямую AB. Изображение лежит на прямой AB, а его расстояние от линзы вдоль оси равно f'. Прямая AB наклонена к оси на тот же угол \alpha, поэтому расстояние от центра линзы до изображения, отмеренное ПО ПРЯМОЙ AB, равно x=\dfrac{f'}{\cos\alpha}.
Шаг 6 — сворачиваем в одну формулу. \dfrac{1}{x}=\dfrac{\cos\alpha}{f'}=\cos\alpha\left(\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{40\cos\alpha}\right)=\dfrac{\cos\alpha}{20}-\dfrac{1}{40}=\dfrac{2\cos\alpha-1}{40}. Значит x=\dfrac{40}{2\cos\alpha-1}. Проверим при \alpha=0: x=\dfrac{40}{2-1}=40 см — совпадает с первым шагом, формула верна.
Шаг 7 — куда поехало изображение. С ростом угла \cos\alpha уменьшается, знаменатель 2\cos\alpha-1 тоже уменьшается, значит x РАСТЁТ. Изображение уходит от линзы, поэтому новое расстояние x=40+10=50 см.
Шаг 8 — находим угол. 50=\dfrac{40}{2\cos\alpha-1}, отсюда 2\cos\alpha-1=\dfrac{40}{50}=0{,}8, значит \cos\alpha=0{,}9 и \alpha=\arccos0{,}9\approx26^\circ.
Как рисовать чертёж. Первый случай: ось AB, линза перпендикулярна ей, фокусы на 20 см, источник на 40 см; два луча от S (один через центр — идёт прямо по оси... поэтому построение ведут вспомогательным лучом под углом, находя его преломлённое направление через побочную ось и фокальную плоскость) сходятся на 40 см справа. Второй случай: та же линза, но повёрнутая на угол \alpha; проведи новую главную ось через O, покажи проекцию SO на неё длиной 40\cos\alpha и построй изображение — оно снова окажется на прямой AB, но уже на 50 см от центра.
Обоснование модели. Линза тонкая, лучи параксиальные — работает формула тонкой линзы \dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F}, причём и d, и f по определению отсчитываются вдоль главной оптической оси, то есть по перпендикуляру к плоскости линзы; именно это и заставляет ввести d'=d\cos\alpha. Утверждение, что луч через оптический центр не преломляется, обосновывает главный вывод — изображение остаётся на прямой AB; без него задача была бы неразрешима. Фокусное расстояние при повороте не меняется, потому что сама линза остаётся той же. Приближение малости размеров источника здесь не нужно — источник точечный по условию.