Тонкие Линзы (нет… — Задание ЕГЭ по физике №00026610

Обычно линза строит изображение плоской стрелки, а тут перед линзой стоит прямоугольник, лежащий В плоскости главной оптической оси — то есть у него есть «глубина»: одна вертикальная сторона ближе к линзе, другая дальше. На рисунке видно, что ось проходит через середину прямоугольника, а вертикальные стороны (длиной $a=20$ см) параллельны плоскости линзы. Дальняя сторона стоит на $d_1=70$ см от линзы, ближняя — на $70-10=60$ см, потому что толщина прямоугольника вдоль оси равна $b=10$ см.

Шаг 1 — фокусное расстояние. $F=\dfrac{1}{D}=\dfrac{1}{2}=0{,}5$ м $=50$ см. Обе стороны стоят дальше фокуса, значит оба изображения будут действительными и перевёрнутыми.

Шаг 2 — где окажется изображение дальней стороны. Формула тонкой линзы через оптическую силу: $\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=D$. Для $d_1=0{,}7$ м: $\dfrac{1}{f_1}=2-\dfrac{1}{0{,}7}=2-\dfrac{10}{7}=\dfrac{14-10}{7}=\dfrac{4}{7}$, значит $f_1=\dfrac{7}{4}=1{,}75$ м $=175$ см.

Шаг 3 — где окажется изображение ближней стороны. Для $d_2=0{,}6$ м: $\dfrac{1}{f_2}=2-\dfrac{1}{0{,}6}=2-\dfrac{5}{3}=\dfrac{6-5}{3}=\dfrac{1}{3}$, значит $f_2=3$ м $=300$ см.

Шаг 4 — насколько «растянулось» изображение вдоль оси. Изображения двух вертикальных сторон стоят на $175$ см и $300$ см от линзы, значит их разделяет $300-175=125$ см. Заметь, как сильно вытянулась глубина: было $10$ см, стало $125$ см.

Шаг 5 — размеры вертикальных сторон изображения. Линейное увеличение $\Gamma=\dfrac{f}{d}$. Для дальней стороны: $\Gamma_1=\dfrac{175}{70}=2{,}5$, её изображение имеет длину $a_1=20\cdot2{,}5=50$ см. Для ближней: $\Gamma_2=\dfrac{300}{60}=5$, длина $a_2=20\cdot5=100$ см.

Шаг 6 — какая фигура получилась. Тонкая линза переводит прямые в прямые, поэтому горизонтальные стороны прямоугольника отобразятся в отрезки прямых, соединяющие концы двух вертикальных изображений. Ось проходит через середину прямоугольника, и обе вертикальные стороны симметричны относительно оси — значит, и их изображения симметричны. Получается равнобокая трапеция: две параллельные стороны $50$ см и $100$ см, а расстояние между ними $125$ см.

Шаг 7 — площадь. Площадь трапеции равна полусумме параллельных сторон, умноженной на расстояние между ними: $S=\dfrac{a_1+a_2}{2}\cdot h=\dfrac{50+100}{2}\cdot125=75\cdot125=9375\ \text{см}^2$. В квадратных метрах: $9375\ \text{см}^2=0{,}9375\ \text{м}^2\approx0{,}94\ \text{м}^2$.

Интересная деталь для проверки понимания: площадь выросла почти в $47$ раз (было $20\cdot10=200\ \text{см}^2$), причём в поперечном направлении фигура растянулась в $2{,}5$–$5$ раз, а вдоль оси — в $12{,}5$ раза. Продольное увеличение всегда «обгоняет» поперечное, потому что оно примерно равно произведению поперечных увеличений двух краёв: $2{,}5\cdot5=12{,}5$ — ровно то, что мы и получили.

Как рисовать. Проведи ось, поставь линзу, отметь фокусы на $50$ см. Изобрази прямоугольник от $60$ до $70$ см слева, симметрично относительно оси. Построй изображения его вертикальных сторон обычной парой лучей от каждой из четырёх вершин: луч, параллельный оси (после линзы идёт через фокус), и луч через оптический центр (не преломляется). Соедини полученные четыре точки — выйдет перевёрнутая трапеция справа от линзы, между $175$ и $300$ см.

Обоснование модели. Линза тонкая, лучи параксиальные, поэтому применимы формула тонкой линзы $\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=D$ и формула линейного увеличения $\Gamma=\dfrac{f}{d}$, причём последняя даёт поперечные размеры изображения. Каждую вертикальную сторону обрабатываем отдельно, потому что она находится на своём расстоянии от линзы: у «объёмной» фигуры разные части имеют разное увеличение. Ключевое утверждение, позволяющее посчитать площадь именно как площадь трапеции, — то, что тонкая линза в параксиальном приближении отображает прямые в прямые, поэтому наклонные боковые стороны изображения прямолинейны. Симметрия относительно оси следует из того, что ось проходит через середину прямоугольника.