Задание 25 ЕГЭ по физике: Прямоугольник со сторонами a = 20 см и b = 10 см расположен в…

Обычно линза строит изображение плоской стрелки, а тут перед линзой стоит прямоугольник, лежащий В плоскости главной оптической оси — то есть у него есть «глубина»: одна вертикальная сторона ближе к линзе, другая дальше. На рисунке видно, что ось проходит через середину прямоугольника, а вертикальные стороны (длиной a=20 см) параллельны плоскости линзы. Дальняя сторона стоит на d_1=70 см от линзы, ближняя — на 70-10=60 см, потому что толщина прямоугольника вдоль оси равна b=10 см.

Шаг 1 — фокусное расстояние. F=\dfrac{1}{D}=\dfrac{1}{2}=0{,}5 м =50 см. Обе стороны стоят дальше фокуса, значит оба изображения будут действительными и перевёрнутыми.

Шаг 2 — где окажется изображение дальней стороны. Формула тонкой линзы через оптическую силу: \dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=D. Для d_1=0{,}7 м: \dfrac{1}{f_1}=2-\dfrac{1}{0{,}7}=2-\dfrac{10}{7}=\dfrac{14-10}{7}=\dfrac{4}{7}, значит f_1=\dfrac{7}{4}=1{,}75 м =175 см.

Шаг 3 — где окажется изображение ближней стороны. Для d_2=0{,}6 м: \dfrac{1}{f_2}=2-\dfrac{1}{0{,}6}=2-\dfrac{5}{3}=\dfrac{6-5}{3}=\dfrac{1}{3}, значит f_2=3 м =300 см.

Шаг 4 — насколько «растянулось» изображение вдоль оси. Изображения двух вертикальных сторон стоят на 175 см и 300 см от линзы, значит их разделяет 300-175=125 см. Заметь, как сильно вытянулась глубина: было 10 см, стало 125 см.

Шаг 5 — размеры вертикальных сторон изображения. Линейное увеличение \Gamma=\dfrac{f}{d}. Для дальней стороны: \Gamma_1=\dfrac{175}{70}=2{,}5, её изображение имеет длину a_1=20\cdot2{,}5=50 см. Для ближней: \Gamma_2=\dfrac{300}{60}=5, длина a_2=20\cdot5=100 см.

Шаг 6 — какая фигура получилась. Тонкая линза переводит прямые в прямые, поэтому горизонтальные стороны прямоугольника отобразятся в отрезки прямых, соединяющие концы двух вертикальных изображений. Ось проходит через середину прямоугольника, и обе вертикальные стороны симметричны относительно оси — значит, и их изображения симметричны. Получается равнобокая трапеция: две параллельные стороны 50 см и 100 см, а расстояние между ними 125 см.

Шаг 7 — площадь. Площадь трапеции равна полусумме параллельных сторон, умноженной на расстояние между ними: S=\dfrac{a_1+a_2}{2}\cdot h=\dfrac{50+100}{2}\cdot125=75\cdot125=9375\ \text{см}^2. В квадратных метрах: 9375\ \text{см}^2=0{,}9375\ \text{м}^2\approx0{,}94\ \text{м}^2.

Интересная деталь для проверки понимания: площадь выросла почти в 47 раз (было 20\cdot10=200\ \text{см}^2), причём в поперечном направлении фигура растянулась в 2{,}5–5 раз, а вдоль оси — в 12{,}5 раза. Продольное увеличение всегда «обгоняет» поперечное, потому что оно примерно равно произведению поперечных увеличений двух краёв: 2{,}5\cdot5=12{,}5 — ровно то, что мы и получили.

Как рисовать. Проведи ось, поставь линзу, отметь фокусы на 50 см. Изобрази прямоугольник от 60 до 70 см слева, симметрично относительно оси. Построй изображения его вертикальных сторон обычной парой лучей от каждой из четырёх вершин: луч, параллельный оси (после линзы идёт через фокус), и луч через оптический центр (не преломляется). Соедини полученные четыре точки — выйдет перевёрнутая трапеция справа от линзы, между 175 и 300 см.

Обоснование модели. Линза тонкая, лучи параксиальные, поэтому применимы формула тонкой линзы \dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=D и формула линейного увеличения \Gamma=\dfrac{f}{d}, причём последняя даёт поперечные размеры изображения. Каждую вертикальную сторону обрабатываем отдельно, потому что она находится на своём расстоянии от линзы: у «объёмной» фигуры разные части имеют разное увеличение. Ключевое утверждение, позволяющее посчитать площадь именно как площадь трапеции, — то, что тонкая линза в параксиальном приближении отображает прямые в прямые, поэтому наклонные боковые стороны изображения прямолинейны. Симметрия относительно оси следует из того, что ось проходит через середину прямоугольника.