Тонкие Линзы… — Задание 25 ЕГЭ по физике №00043186

Что тут происходит. Перед собирающей линзой качается маятник. Его груз в крайних положениях оказывается на главной оптической оси, и линза даёт изображения этих двух точек. Известны амплитуда, положение маятника относительно переднего фокуса и расстояние между изображениями. Нужно найти оптическую силу линзы.

Шаг 1 — где крайние точки. По рисунку равновесное положение нити находится на расстоянии $l=\sqrt5$ см перед передним фокусом $F$, а крайние положения груза смещены от него на $A=1$ см в обе стороны вдоль оси. Значит, расстояния крайних точек от переднего фокуса $$x_1=l-A=\sqrt5-1\approx1{,}24\ \text{см},\qquad x_2=l+A=\sqrt5+1\approx3{,}24\ \text{см}.$$ Обе точки дальше от линзы, чем фокус ($l\gt A$), поэтому их изображения действительные, как и сказано в условии.

Шаг 2 — формула линзы в удобной форме. Если отсчитывать расстояние предмета $x$ от переднего фокуса, а изображения $x'$ — от заднего, формула тонкой линзы $\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F}$ (при $d=F+x$, $f=F+x'$) превращается в формулу Ньютона $$xx'=F^2.$$ Проверка: $\dfrac{1}{F+x}+\dfrac{1}{F+x'}=\dfrac{1}{F}$ после приведения к общему знаменателю даёт ровно $xx'=F^2$.

Шаг 3 — расстояние между изображениями. Оба изображения лежат на оси за задним фокусом, на расстояниях $x'_1=\dfrac{F^2}{l-A}$ и $x'_2=\dfrac{F^2}{l+A}$. Ближняя к линзе точка даёт более далёкое изображение. Расстояние между изображениями $$\Delta=\frac{F^2}{l-A}-\frac{F^2}{l+A}=\frac{F^2\cdot2A}{l^2-A^2}.$$

Шаг 4 — фокусное расстояние. Подставляем в сантиметрах: $l^2-A^2=5-1=4$, $2A=2$: $$\Delta=\frac{2F^2}{4}=\frac{F^2}{2}=2\ \text{см}\quad\Rightarrow\quad F^2=4\ \text{см}^2,\quad F=2\ \text{см}.$$ Берём положительный корень — у собирающей линзы фокусное расстояние положительно.

Шаг 5 — оптическая сила. Она измеряется в диоптриях, то есть $F$ нужно в метрах: $F=0{,}02$ м, $$D=\frac{1}{F}=\frac{1}{0{,}02}=50\ \text{дптр}.$$

Проверим себя обычной формулой линзы. Ближняя крайняя точка стоит от линзы на $d_1=2+1{,}24=3{,}24$ см, её изображение $f_1=\dfrac{Fd_1}{d_1-F}=\dfrac{2\cdot3{,}24}{1{,}24}\approx5{,}24$ см. Дальняя — $d_2=5{,}24$ см, $f_2=\dfrac{2\cdot5{,}24}{3{,}24}\approx3{,}24$ см. Разность $5{,}24-3{,}24=2$ см — как в условии.