Циклы, Тепловые… — Задание 24 ЕГЭ по физике №00043181

Что тут происходит. Одноатомный идеальный газ проходит замкнутый цикл из трёх участков: изохорный нагрев 1–2, расширение 2–3 по прямой на диаграмме $p$–$V$ и возврат 3–1 тоже по прямой. Нужно найти КПД — какую долю полученной от нагревателя теплоты газ превращает в работу.

Шаг 1 — координаты точек. Обозначим начальное состояние $p_1$, $V_1$. Точка 2: объём тот же, давление вдвое больше — $(V_1;\,2p_1)$. Точка 3: объём в $5$ раз больше, давление в $2{,}5$ раза больше, чем в точке 2, — $(5V_1;\,5p_1)$. Заметим: у точек 1 и 3 отношение $\dfrac{p}{V}$ одинаковое, значит прямая 3–1 проходит через начало координат.

Шаг 2 — работа за цикл. Это площадь треугольника 1–2–3. Его сторона 1–2 вертикальна, длина $p_1$, а точка 3 отстоит от неё по объёму на $4V_1$: $$A=\frac{1}{2}\cdot p_1\cdot4V_1=2p_1V_1.$$ Цикл обходится по часовой стрелке (участок 2–3 идёт выше участка 3–1), поэтому работа газа положительна — это тепловой двигатель.

Шаг 3 — где газ получает теплоту. Для одноатомного газа $U=\dfrac{3}{2}pV$. На 1–2 объём постоянен, давление растёт: $Q_{12}=\dfrac{3}{2}V_1(2p_1-p_1)=1{,}5\,p_1V_1$ — получено. На 2–3: $\Delta U_{23}=\dfrac{3}{2}(5p_1\cdot5V_1-2p_1V_1)=34{,}5\,p_1V_1$, работа — площадь трапеции под отрезком $A_{23}=\dfrac{2p_1+5p_1}{2}\cdot4V_1=14\,p_1V_1$, теплота $Q_{23}=48{,}5\,p_1V_1$. На 3–1 газ сжимается и произведение $pV$ уменьшается, то есть и работа газа отрицательна, и внутренняя энергия падает — теплота только отдаётся.

Шаг 4 — проверка знака теплоты на 2–3. На прямой $p=p_1\left(1{,}25+0{,}75\dfrac{V}{V_1}\right)$ малая порция теплоты $\delta Q=\dfrac{5}{2}p\,dV+\dfrac{3}{2}V\,dp$; при $dV\gt0$ оба слагаемых положительны, значит на всём участке газ теплоту получает и $Q_{23}$ целиком идёт в «полученную».

Шаг 5 — КПД. Полученная теплота $Q_{\text{н}}=Q_{12}+Q_{23}=1{,}5+48{,}5=50\,p_1V_1$: $$\eta=\frac{A}{Q_{\text{н}}}=\frac{2p_1V_1}{50p_1V_1}=0{,}04=4\,\%.$$

Проверим себя энергобалансом. На 3–1: $\Delta U_{31}=\dfrac{3}{2}(p_1V_1-25p_1V_1)=-36p_1V_1$, работа газа $-\dfrac{p_1+5p_1}{2}\cdot4V_1=-12p_1V_1$, отданная теплота $48p_1V_1$. Разность полученной и отданной: $50-48=2$ — ровно работа цикла.