МКТ — Задание 23 ЕГЭ по физике №00043161

Что тут происходит. В сосуде гелий, известны его плотность и среднеквадратичная скорость молекул. Давление газа — это результат бесчисленных ударов молекул о стенки. Чем тяжелее «содержимое» каждого кубометра и чем быстрее летают молекулы, тем сильнее удары. Нужно посчитать давление.

Модель. Плотность гелия $0{,}12$ кг/м³ — примерно в десять раз меньше плотности воздуха при обычных условиях, газ разреженный, поэтому его можно считать идеальным: молекулы — точки, которые взаимодействуют только при ударах. Для такого газа справедливо основное уравнение МКТ: $$p=\frac{1}{3}m_0nv_{\text{кв}}^2,$$ где $m_0$ — масса одной молекулы, $n$ — концентрация (число молекул в кубометре).

Шаг 1 — откуда квадрат скорости. Каждая молекула при ударе передаёт стенке импульс, пропорциональный её скорости, и чем быстрее молекулы, тем чаще они долетают до стенки. Два множителя скорости дают квадрат. А множитель $\dfrac{1}{3}$ появляется потому, что молекулы летят равновероятно вдоль всех трёх осей, а давит на данную стенку только движение вдоль одной из них.

Шаг 2 — переходим к плотности. Произведение массы молекулы на число молекул в кубометре — это масса кубометра газа, то есть плотность: $m_0n=\rho$. Значит $$p=\frac{1}{3}\rho v_{\text{кв}}^2.$$

Шаг 3 — числа. Квадрат скорости: $1500^2=2\,250\,000$ м²/с². $$p=\frac{1}{3}\cdot0{,}12\cdot2\,250\,000=\frac{270\,000}{3}=90\,000\ \text{Па}=90\ \text{кПа}.$$

Проверим себя другим путём. Найдём температуру гелия по скорости ($M=0{,}004$ кг/моль): $T=\dfrac{Mv_{\text{кв}}^2}{3R}=\dfrac{0{,}004\cdot2\,250\,000}{3\cdot8{,}31}=\dfrac{9000}{24{,}93}\approx361$ К. Теперь давление по уравнению Менделеева — Клапейрона, записанному через плотность: $p=\dfrac{\rho RT}{M}=\dfrac{0{,}12\cdot8{,}31\cdot361}{0{,}004}\approx9\cdot10^4$ Па. Совпало, и размерность сходится: $\dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}\cdot\dfrac{\text{м}^2}{\text{с}^2}=\dfrac{\text{Н}}{\text{м}^2}=\text{Па}$.