МКТ — Задание 23 ЕГЭ по физике №00043160

Что тут происходит. В сосуде аргон, известны его плотность и давление. Молекулы газа хаотически носятся во все стороны и бьют в стенки — из-за этих ударов и возникает давление. Нужно найти, с какой характерной скоростью они летают, — среднеквадратичную скорость.

Что такое среднеквадратичная скорость. Молекулы движутся с разными скоростями, поэтому берут квадраты всех скоростей, находят их среднее и извлекают корень. Именно средний квадрат скорости стоит в уравнениях молекулярно-кинетической теории (МКТ).

Модель. Аргон считаем идеальным газом: молекулы — точки, которые взаимодействуют только при ударах. Тогда работает основное уравнение МКТ: $$p=\frac{1}{3}m_0nv_{\text{кв}}^2,$$ где $m_0$ — масса одной молекулы, $n$ — концентрация, то есть число молекул в кубометре.

Шаг 1 — заменяем незнакомое на известное. Произведение $m_0n$ — это масса одной молекулы, умноженная на число молекул в кубометре, то есть масса кубометра газа. А это и есть плотность: $m_0n=\rho$. Тогда $$p=\frac{1}{3}\rho v_{\text{кв}}^2\quad\Rightarrow\quad v_{\text{кв}}=\sqrt{\frac{3p}{\rho}}.$$

Шаг 2 — числа. Давление переводим в паскали: $p=150$ кПа $=1{,}5\cdot10^5$ Па. $$v_{\text{кв}}=\sqrt{\frac{3\cdot150\,000}{1{,}8}}=\sqrt{\frac{450\,000}{1{,}8}}=\sqrt{250\,000}=500\ \text{м/с}.$$

Проверим себя через температуру. Из уравнения Менделеева — Клапейрона, поделённого на объём, $p=\dfrac{\rho RT}{M}$; для аргона $M=0{,}04$ кг/моль, поэтому $T=\dfrac{pM}{\rho R}=\dfrac{150\,000\cdot0{,}04}{1{,}8\cdot8{,}31}=\dfrac{6000}{14{,}96}\approx401$ К — обычная температура нагретого газа. По формуле $v_{\text{кв}}=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}}=\sqrt{\dfrac{3\cdot8{,}31\cdot401}{0{,}04}}\approx\sqrt{250\,000}=500$ м/с — то же самое.