ID: 00026793
В открытый контейнер объёмом 50 мл поместили 1 г изотопа полония-210. Затем контейнер герметично закрыли. Данный изотоп полония радиоактивен и претерпевает альфа-распад с периодом полураспада примерно 140 дней, превращаясь в стабильный изотоп свинца. Определите давление внутри контейнера через 5 недель. Температура как внутри, так и снаружи контейнера в течение эксперимента поддерживается постоянной и равной 45 °С. Атмосферное давление равно 10⁵ Па.
Источник: ФИПИ
Разберём сюжет по шагам. В контейнер положили грамм полония и закрыли крышку — внутри остался обычный воздух при атмосферном давлении. Полоний потихоньку распадается: каждое ядро выбрасывает α-частицу, а α-частица — это ядро гелия, которое, прихватив по дороге пару электронов, становится атомом гелия. Свинец, в который превращается полоний, остаётся твёрдым и на давление не влияет, а вот гелий — газ, он и добавляет давление. Значит, надо посчитать, сколько гелия накопилось за пять недель, найти его парциальное давление и прибавить к атмосферному.
Какие законы работают. Число нераспавшихся ядер убывает по закону радиоактивного распада $N=N_{0}\cdot 2^{-t/T_{1/2}}$, где $T_{1/2}$ — период полураспада. Сколько ядер распалось — столько атомов гелия и родилось. Давление гелия считаем по уравнению Клапейрона — Менделеева, а складывать давления воздуха и гелия позволяет закон Дальтона: газы в смеси не мешают друг другу, и полное давление равно сумме парциальных. Объём контейнера не меняется (он герметичный и жёсткий), температура постоянна, поэтому давление воздуха так и остаётся равным $10^{5}$ Па.
Шаг 1 — сколько молей полония положили. Массовое число изотопа $210$, значит, молярная масса $M=210$ г/моль: $$\nu_{0}=\frac{m}{M}=\frac{1}{210}\approx 4{,}76\cdot10^{-3}\ \text{моль}.$$
Шаг 2 — какая доля распалась. Пять недель — это $35$ дней, то есть $\dfrac{35}{140}=\dfrac{1}{4}$ периода полураспада. Осталась доля $$2^{-1/4}=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}=\frac{1}{1{,}19}\approx 0{,}84,$$ значит, распалась доля $1-0{,}84=0{,}16$.
Шаг 3 — сколько получилось гелия. Каждое распавшееся ядро дало один атом гелия: $$\nu_{\text{He}}=0{,}16\cdot 4{,}76\cdot10^{-3}\approx 7{,}6\cdot10^{-4}\ \text{моль}.$$
Шаг 4 — давление гелия. Переводим: $V=50$ мл $=5\cdot10^{-5}$ м³, $T=45+273=318$ К. $$p_{\text{He}}=\frac{\nu_{\text{He}}RT}{V}=\frac{7{,}6\cdot10^{-4}\cdot 8{,}31\cdot 318}{5\cdot10^{-5}}=\frac{2{,}0}{5\cdot10^{-5}}\approx 4{,}0\cdot10^{4}\ \text{Па}.$$
Шаг 5 — полное давление по закону Дальтона: $$p=p_{0}+p_{\text{He}}=10^{5}+4{,}0\cdot10^{4}=1{,}4\cdot10^{5}\ \text{Па}.$$
Стоит оценить, насколько это много: всего $0{,}16$ грамма распавшегося полония подняли давление почти в полтора раза. Причина в том, что контейнер крошечный ($50$ мл), а атомов даже в долях грамма — колоссальное количество. Объёмом самого полония можно пренебречь: грамм этого очень плотного металла занимает лишь около $0{,}1$ см³ из пятидесяти.
$p=p_{0}+\dfrac{\nu_{\text{He}}RT}{V}\approx 1{,}4\cdot10^{5}$ Па (воздух $10^{5}$ Па плюс около $4\cdot10^{4}$ Па гелия).