МКТ — Задание 23 ЕГЭ по физике №00026514

Кран у сосуда неплотный, поэтому газ через него подтекает — и, как мы сейчас увидим, не наружу, а внутрь. Раз число молекул в сосуде меняется, привычные газовые законы для постоянной массы не годятся. Работать будем с уравнением состояния, в котором количество молекул присутствует явной буквой.

Шаг 1 — что показывает график. По вертикали отложено давление в единицах $10^{3}$ Па, по горизонтали — абсолютная температура. Состояние 1 сидит на пересечении $T_1 = 300$ К и $p_1 = 1\cdot10^{3}$ Па, состояние 2 — на пересечении $T_2 = 900$ К и $p_2 = 2\cdot10^{3}$ Па. Про объём график ничего не говорит, зато говорит условие: он вырос в $6$ раз, то есть $V_2 = 6V_1$.

Шаг 2 — уравнение состояния через число молекул:

$$p V = N k T \quad\Rightarrow\quad N = \frac{pV}{kT},$$

где $N$ — число молекул в сосуде, $k$ — постоянная Больцмана (она свяжет температуру с энергией движения молекул и в ответе сократится).

Шаг 3 — отношение состояний. Запишем формулу дважды и поделим:

$$\frac{N_2}{N_1} = \frac{p_2 V_2 / (k T_2)}{p_1 V_1 / (k T_1)} = \frac{p_2}{p_1}\cdot\frac{V_2}{V_1}\cdot\frac{T_1}{T_2}.$$

Шаг 4 — числа:

$$\frac{N_2}{N_1} = \frac{2\cdot10^{3}}{1\cdot10^{3}}\cdot 6\cdot \frac{300}{900} = 2\cdot 6\cdot\frac{1}{3} = 4.$$

Молекул стало вчетверо больше — газ через неплотный кран не вытекал, а, наоборот, натекал в сосуд. Проверим это на пальцах: объём вырос в шесть раз, температура — в три; если бы молекулы никуда не девались, давление упало бы вдвое ($3/6 = 0{,}5$). А оно вместо этого удвоилось. Разница как раз в четыре раза — столько молекул и прибавилось.

Почему такая модель применима. Газ по условию разреженный и идеальный, значит для него справедливо уравнение состояния $pV=NkT$ — это то же самое уравнение Менделеева–Клапейрона, только записанное через число молекул и постоянную Больцмана вместо количества вещества и универсальной газовой постоянной. Важно, что оно верно в любой момент времени для того газа, который сейчас находится в сосуде, и потому переживает утечку. А вот объединённый газовый закон $\dfrac{p_1V_1}{T_1}=\dfrac{p_2V_2}{T_2}$ применять было бы ошибкой: он выведен в предположении, что количество вещества не меняется, а здесь оно меняется — именно его мы и ищем. Абсолютных значений объёма нам не нужно, достаточно его отношения, потому что все величины входят в ответ только отношениями.