ID: 00026513
Во время опыта объём сосуда с разреженным аргоном не менялся, и аргон перешёл из состояния 1 в состояние 2 (см. рисунок). Кран у сосуда был закрыт неплотно, и сквозь него мог просачиваться аргон. Определите отношение $\dfrac{N_{2}}{N_{1}}$ числа молекул газа в сосуде в конце и в начале опыта.
Источник: ФИПИ
Обычно в газовых задачах количество молекул считают неизменным — но здесь кран неплотный, и газ потихоньку утекает. Значит, привычными газовыми законами (Бойля, Шарля, Гей-Люссака) пользоваться нельзя: все они требуют постоянного числа молекул. Придётся вернуться к самому общему уравнению, в котором это число стоит явно.
Шаг 1 — снимаем данные с графика. По вертикальной оси отложено давление в единицах $10^{5}$ Па, по горизонтальной — абсолютная температура в кельвинах. Состояние 1 находится на уровне $p_1 = 2\cdot10^{5}$ Па, а по температуре — ровно посередине между отметками $300$ К и $600$ К, то есть $T_1 = 450$ К. Состояние 2 лежит на пересечении $p_2 = 1\cdot10^{5}$ Па и $T_2 = 900$ К.
Шаг 2 — нужное уравнение. Основное уравнение состояния идеального газа в «молекулярной» форме:
$$p = n k T,$$
где $n = N/V$ — концентрация молекул, $N$ — их число, $V$ — объём сосуда, $k$ — постоянная Больцмана. Отсюда
$$p V = N k T \quad\Rightarrow\quad N = \frac{pV}{kT}.$$
Шаг 3 — берём отношение. Условие говорит, что объём сосуда не менялся, поэтому $V$ одинаков в обоих состояниях и сократится вместе с постоянной Больцмана:
$$\frac{N_2}{N_1} = \frac{p_2 V/(k T_2)}{p_1 V/(k T_1)} = \frac{p_2}{p_1}\cdot\frac{T_1}{T_2}.$$
Шаг 4 — подставляем числа:
$$\frac{N_2}{N_1} = \frac{1\cdot10^{5}}{2\cdot10^{5}}\cdot\frac{450}{900} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = 0{,}25.$$
Молекул стало вчетверо меньше. Логика такая: газ нагрели вдвое, от этого он должен был бы давить сильнее, а давление вместо роста упало вдвое — значит утечка «съела» и рост от нагрева, и ещё столько же сверху. Как раз четыре раза.
Почему такая модель применима. Здесь нельзя брать объединённый газовый закон в привычном виде $\dfrac{p_1V_1}{T_1}=\dfrac{p_2V_2}{T_2}$ — он выведен для постоянного количества вещества, а по условию газ просачивается сквозь кран. Зато уравнение $pV=NkT$ (равносильное уравнению Менделеева–Клапейрона, только записанное через число молекул, а не через моли) справедливо в любой момент времени для того газа, что реально находится в сосуде. Аргон разрежен — прямо сказано в условии, — поэтому модель идеального газа работает: молекулы малы, взаимодействуют лишь при столкновениях. Постоянство объёма сосуда позволяет сократить $V$ и получить ответ через одни только отношения давлений и температур, без единой абсолютной величины.