МКТ — Задание 23 ЕГЭ по физике №00026500

Тепловой аэростат летает по той же причине, по которой всплывает пузырёк воздуха в воде: воздух внутри оболочки горячий, а значит более разреженный, чем холодный воздух снаружи. Вытесненный шаром холодный воздух тяжелее, чем всё содержимое шара вместе с тканью, — и разница выталкивает аэростат вверх. Наша задача — понять, насколько тяжёлой при этом позволено быть самой оболочке.

Шаг 1 — что важно в устройстве шара. Оболочка нерастяжима, значит объём $V$ фиксирован. Внизу есть отверстие, значит воздух внутри сообщается с атмосферой и давление внутри равно наружному: $p = p_0$. Именно поэтому горячий воздух не «распирает» шар, а просто частично уходит наружу — внутри его остаётся меньше по массе.

Шаг 2 — сравним плотности. Для воздуха как идеального газа плотность равна $\rho = \dfrac{p\mu}{RT}$, где $\mu$ — молярная масса воздуха. Давление и молярная масса внутри и снаружи одинаковы, поэтому плотность обратно пропорциональна абсолютной температуре:

$$\frac{\rho_0}{\rho} = \frac{T}{T_0} = 2.$$

Холодный наружный воздух ровно вдвое плотнее горячего внутреннего.

Шаг 3 — переведём это на язык масс. Пусть $m$ — масса горячего воздуха внутри шара, а $m_0$ — масса того холодного воздуха, который занимал бы тот же объём $V$ (то есть масса вытесненного воздуха). Так как объём один и тот же,

$$m_0 = \rho_0 V = 2\rho V = 2m.$$

Шаг 4 — условие подъёма. Шар начнёт подниматься, когда сила Архимеда превысит суммарную силу тяжести оболочки и находящегося внутри горячего воздуха (масса груза по условию не учитывается):

$$\rho_0 g V \ge (m_{\text{об}} + m) g \quad\Rightarrow\quad m_0 \ge m_{\text{об}} + m.$$

Ускорение свободного падения снова сократилось. Подставляем $m_0 = 2m$:

$$2m \ge m_{\text{об}} + m \quad\Rightarrow\quad m_{\text{об}} \le m.$$

Шаг 5 — записываем ответ в виде отношения, о котором спрашивают:

$$\frac{m_{\text{об}}}{m} \le 1.$$

Получается на удивление красивое правило: если нагреть воздух вдвое (по абсолютной температуре), шар поднимет оболочку, которая весит не больше, чем оставшийся в нём горячий воздух. Ровно на границе, при отношении, равном единице, шар «зависает» — сила Архимеда точно уравновешивает вес.

Почему такая модель применима. Отверстие внизу — не мелочь оформления, а ключевое условие: благодаря ему давление внутри равно атмосферному, и мы имеем право писать одинаковое $p$ в формулах плотности снаружи и внутри. Нерастяжимость оболочки даёт постоянный объём, поэтому массы наружного и внутреннего воздуха относятся так же, как плотности. Плотности связываются с температурой через уравнение Менделеева–Клапейрона в форме $\rho=p\mu/(RT)$ — воздух при обычных условиях прекрасно описывается моделью идеального газа. Само условие взлёта — это закон Архимеда вместе со вторым законом Ньютона: подъём начинается, когда равнодействующая направлена вверх, а на границе она равна нулю.