ID: 00026500
Воздушный шар наполняется горячим воздухом при нормальном атмосферном давлении. Абсолютная температура Т горячего воздуха в 2 раза больше температуры Т _{0}окружающего воздуха. При каком отношении массы оболочки к массе наполняющего её воздуха шар начнёт подниматься? Оболочка шара нерастяжима и имеет в нижней части небольшое отверстие.
Массой груза и объёмом материала оболочки шара пренебречь.
Источник: ФИПИ
Тепловой аэростат летает по той же причине, по которой всплывает пузырёк воздуха в воде: воздух внутри оболочки горячий, а значит более разреженный, чем холодный воздух снаружи. Вытесненный шаром холодный воздух тяжелее, чем всё содержимое шара вместе с тканью, — и разница выталкивает аэростат вверх. Наша задача — понять, насколько тяжёлой при этом позволено быть самой оболочке.
Шаг 1 — что важно в устройстве шара. Оболочка нерастяжима, значит объём V фиксирован. Внизу есть отверстие, значит воздух внутри сообщается с атмосферой и давление внутри равно наружному: p = p_0. Именно поэтому горячий воздух не «распирает» шар, а просто частично уходит наружу — внутри его остаётся меньше по массе.
Шаг 2 — сравним плотности. Для воздуха как идеального газа плотность равна \rho = \dfrac{p\mu}{RT}, где \mu — молярная масса воздуха. Давление и молярная масса внутри и снаружи одинаковы, поэтому плотность обратно пропорциональна абсолютной температуре:
\frac{\rho_0}{\rho} = \frac{T}{T_0} = 2.
Холодный наружный воздух ровно вдвое плотнее горячего внутреннего.
Шаг 3 — переведём это на язык масс. Пусть m — масса горячего воздуха внутри шара, а m_0 — масса того холодного воздуха, который занимал бы тот же объём V (то есть масса вытесненного воздуха). Так как объём один и тот же,
m_0 = \rho_0 V = 2\rho V = 2m.
Шаг 4 — условие подъёма. Шар начнёт подниматься, когда сила Архимеда превысит суммарную силу тяжести оболочки и находящегося внутри горячего воздуха (масса груза по условию не учитывается):
\rho_0 g V \ge (m_{\text{об}} + m) g \quad\Rightarrow\quad m_0 \ge m_{\text{об}} + m.
Ускорение свободного падения снова сократилось. Подставляем m_0 = 2m:
2m \ge m_{\text{об}} + m \quad\Rightarrow\quad m_{\text{об}} \le m.
Шаг 5 — записываем ответ в виде отношения, о котором спрашивают:
\frac{m_{\text{об}}}{m} \le 1.
Получается на удивление красивое правило: если нагреть воздух вдвое (по абсолютной температуре), шар поднимет оболочку, которая весит не больше, чем оставшийся в нём горячий воздух. Ровно на границе, при отношении, равном единице, шар «зависает» — сила Архимеда точно уравновешивает вес.
Почему такая модель применима. Отверстие внизу — не мелочь оформления, а ключевое условие: благодаря ему давление внутри равно атмосферному, и мы имеем право писать одинаковое p в формулах плотности снаружи и внутри. Нерастяжимость оболочки даёт постоянный объём, поэтому массы наружного и внутреннего воздуха относятся так же, как плотности. Плотности связываются с температурой через уравнение Менделеева–Клапейрона в форме \rho=p\mu/(RT) — воздух при обычных условиях прекрасно описывается моделью идеального газа. Само условие взлёта — это закон Архимеда вместе со вторым законом Ньютона: подъём начинается, когда равнодействующая направлена вверх, а на границе она равна нулю.