МКТ — Задание 23 ЕГЭ по физике №00026506

Начнём с наблюдения, которое сразу задаёт направление решения: воздушный столбик стал короче — было $30{,}7$ см, стало $23{,}8$ см. Газ сжался, а раз температура не менялась, значит его придавили: давление выросло. Кто виноват? Ртуть, которая в вертикальном положении встала прямо над воздухом и добавила свой вес.

Шаг 1 — рисунок и что на нём. Трубка запаяна с одного конца. В горизонтальном положении у глухого конца сидит воздух длиной $l_1$, дальше — ртутная пробка длиной $l$. Когда трубку ставят отверстием вверх, глухой конец оказывается внизу: воздух внизу, ртуть над ним, а сверху на ртуть давит атмосфера.

Шаг 2 — давление в горизонтальном положении. Лежачая ртуть на воздух своим весом не давит: её вес направлен вниз, поперёк трубки, и держится стеклом. Столбик лишь передаёт давление атмосферы:

$$p_1 = H = 747\ \text{мм рт. ст.}$$

Шаг 3 — давление в вертикальном положении. Теперь запертый воздух держит на себе и атмосферу, и вес ртутного столбика. Условие равновесия ртути даёт

$$p_2 = H + l,$$

где длина $l$ выражена в миллиметрах ртутного столба — в этих единицах гидростатическое давление столбика ртути численно равно его высоте в миллиметрах. Знак «плюс» согласуется с наблюдением из вступления: давление выросло, газ сжался.

Шаг 4 — закон Бойля–Мариотта. Порция газа та же, температура постоянна, сечение трубки одинаковое, поэтому объёмы можно заменить длинами столбиков:

$$p_1 l_1 = p_2 l_2 \quad\Rightarrow\quad H l_1 = (H + l)\,l_2.$$

Шаг 5 — считаем:

$$H + l = \frac{H l_1}{l_2} = \frac{747\cdot 30{,}7}{23{,}8} = \frac{22\,932{,}9}{23{,}8} \approx 963{,}6\ \text{мм рт. ст.}$$

$$l = 963{,}6 - 747 \approx 216{,}6\ \text{мм рт. ст.} = 216{,}6\ \text{мм} \approx 21{,}7\ \text{см}.$$

Проверим себя обратной подстановкой: $963{,}6\cdot 23{,}8 = 22\,933$, и $747\cdot 30{,}7 = 22\,933$ — сходится идеально. Ртутная пробка длиной чуть больше двадцати сантиметров создаёт добавку почти в треть атмосферы, поэтому воздух и сжался так заметно.

Почему такая модель применима. Воздух в трубке — неизменная порция идеального газа при постоянной температуре, значит справедлив закон Бойля–Мариотта, частный случай уравнения Менделеева–Клапейрона при $T=\mathrm{const}$ и $\nu=\mathrm{const}$. Давление запертого газа находится из условия равновесия ртутного столбика — это второй закон Ньютона при нулевом ускорении вместе с законом Паскаля и формулой гидростатического давления $\rho g l$. Сечение трубки постоянно, поэтому объём газа пропорционален длине столбика, и в законе Бойля–Мариотта длины можно подставлять вместо объёмов. Наконец, все давления удобно держать в миллиметрах ртутного столба: в этих единицах вклад ртути равен просто её длине, и переводить в паскали не нужно.