Задание 23 ЕГЭ по физике: Сила тока в идеальном колебательном контуре меняется со временем…

Сначала снимем всё, что можно, с графика. Ток меняется по синусоиде: он начинается с нуля, растёт до максимума I_m=0{,}6 А при t=2 мкс, снова обращается в нуль при t=4 мкс, доходит до минимума -0{,}6 А при t=6 мкс и возвращается к нулю при t=8 мкс. Значит, амплитуда тока I_m=0{,}6 А, а период колебаний T=8 мкс. Нужен заряд конденсатора в момент t=3 мкс.

Проговорим модель. Контур идеальный: сопротивления нет, колебания не затухают, и заряд с током меняются по гармоническому закону с одним и тем же периодом. Ток — это скорость изменения заряда, поэтому эти две величины сдвинуты по фазе на четверть периода: когда ток максимален, конденсатор полностью разряжен, а когда ток равен нулю, заряд максимален. Раз ток на графике меняется как i=I_m\sin\dfrac{2\pi t}{T}, то заряд меняется как косинус: q=q_m\cos\frac{2\pi t}{T}, где q_m — амплитуда заряда. Связь амплитуд стандартная: I_m=\omega q_m, где \omega=\dfrac{2\pi}{T} — циклическая частота, то есть q_m=\frac{I_m}{\omega}=\frac{I_mT}{2\pi}.

Шаг 1 — амплитуда заряда. Переведём период в секунды: T=8 мкс =8\cdot10^{-6} с. q_m=\frac{0{,}6\cdot 8\cdot10^{-6}}{2\cdot 3{,}14}=\frac{4{,}8\cdot10^{-6}}{6{,}28}\approx 7{,}6\cdot10^{-7}\ \text{Кл}.

Шаг 2 — фаза в нужный момент. К моменту t=3 мкс прошло \dfrac{3}{8} периода, значит, \frac{2\pi t}{T}=\frac{2\pi\cdot 3}{8}=\frac{3\pi}{4}\ (\text{то есть }135^\circ).

Шаг 3 — сам заряд. Нас интересует его модуль: |q|=q_m\left|\cos 135^\circ\right|=7{,}6\cdot10^{-7}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 7{,}6\cdot10^{-7}\cdot 0{,}71\approx 5{,}4\cdot10^{-7}\ \text{Кл}.

Проверим другим способом — через закон сохранения энергии, не пользуясь фазами. В момент t=3 мкс ток равен i=I_m\sin 135^\circ=0{,}6\cdot 0{,}71\approx 0{,}42 А (это видно и по графику: кривая уже прошла максимум и спускается к нулю). Полная энергия контура постоянна, поэтому \frac{q^{2}}{2C}+\frac{Li^{2}}{2}=\frac{LI_m^{2}}{2}\quad\Rightarrow\quad q=\sqrt{LC}\sqrt{I_m^{2}-i^{2}}=\frac{T}{2\pi}\sqrt{I_m^{2}-i^{2}}, где мы воспользовались формулой Томсона T=2\pi\sqrt{LC}. Считаем: \sqrt{0{,}6^{2}-0{,}42^{2}}=\sqrt{0{,}36-0{,}18}\approx 0{,}42 А, и q\approx 1{,}27\cdot10^{-6}\cdot 0{,}42\approx 5{,}4\cdot10^{-7} Кл. Оба пути дали одно и то же — примерно 0{,}54 микрокулона.

И картинка получается логичная: момент t=3 мкс лежит ровно посередине между максимумом тока (t=2 мкс, конденсатор пуст) и нулём тока (t=4 мкс, конденсатор заряжен полностью), поэтому и ток, и заряд составляют примерно 0{,}71 от своих амплитуд — энергия в этот момент поделена между катушкой и конденсатором поровну.