L/C контур (нет в… — Задание ЕГЭ по физике №00026420

Сначала снимем всё, что можно, с графика. Ток меняется по синусоиде: он начинается с нуля, растёт до максимума $I_m=0{,}6$ А при $t=2$ мкс, снова обращается в нуль при $t=4$ мкс, доходит до минимума $-0{,}6$ А при $t=6$ мкс и возвращается к нулю при $t=8$ мкс. Значит, амплитуда тока $I_m=0{,}6$ А, а период колебаний $T=8$ мкс. Нужен заряд конденсатора в момент $t=3$ мкс.

Проговорим модель. Контур идеальный: сопротивления нет, колебания не затухают, и заряд с током меняются по гармоническому закону с одним и тем же периодом. Ток — это скорость изменения заряда, поэтому эти две величины сдвинуты по фазе на четверть периода: когда ток максимален, конденсатор полностью разряжен, а когда ток равен нулю, заряд максимален. Раз ток на графике меняется как $i=I_m\sin\dfrac{2\pi t}{T}$, то заряд меняется как косинус: $$q=q_m\cos\frac{2\pi t}{T},$$ где $q_m$ — амплитуда заряда. Связь амплитуд стандартная: $I_m=\omega q_m$, где $\omega=\dfrac{2\pi}{T}$ — циклическая частота, то есть $$q_m=\frac{I_m}{\omega}=\frac{I_mT}{2\pi}.$$

Шаг 1 — амплитуда заряда. Переведём период в секунды: $T=8$ мкс $=8\cdot10^{-6}$ с. $$q_m=\frac{0{,}6\cdot 8\cdot10^{-6}}{2\cdot 3{,}14}=\frac{4{,}8\cdot10^{-6}}{6{,}28}\approx 7{,}6\cdot10^{-7}\ \text{Кл}.$$

Шаг 2 — фаза в нужный момент. К моменту $t=3$ мкс прошло $\dfrac{3}{8}$ периода, значит, $$\frac{2\pi t}{T}=\frac{2\pi\cdot 3}{8}=\frac{3\pi}{4}\ (\text{то есть }135^\circ).$$

Шаг 3 — сам заряд. Нас интересует его модуль: $$|q|=q_m\left|\cos 135^\circ\right|=7{,}6\cdot10^{-7}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 7{,}6\cdot10^{-7}\cdot 0{,}71\approx 5{,}4\cdot10^{-7}\ \text{Кл}.$$

Проверим другим способом — через закон сохранения энергии, не пользуясь фазами. В момент $t=3$ мкс ток равен $i=I_m\sin 135^\circ=0{,}6\cdot 0{,}71\approx 0{,}42$ А (это видно и по графику: кривая уже прошла максимум и спускается к нулю). Полная энергия контура постоянна, поэтому $$\frac{q^{2}}{2C}+\frac{Li^{2}}{2}=\frac{LI_m^{2}}{2}\quad\Rightarrow\quad q=\sqrt{LC}\sqrt{I_m^{2}-i^{2}}=\frac{T}{2\pi}\sqrt{I_m^{2}-i^{2}},$$ где мы воспользовались формулой Томсона $T=2\pi\sqrt{LC}$. Считаем: $\sqrt{0{,}6^{2}-0{,}42^{2}}=\sqrt{0{,}36-0{,}18}\approx 0{,}42$ А, и $q\approx 1{,}27\cdot10^{-6}\cdot 0{,}42\approx 5{,}4\cdot10^{-7}$ Кл. Оба пути дали одно и то же — примерно $0{,}54$ микрокулона.

И картинка получается логичная: момент $t=3$ мкс лежит ровно посередине между максимумом тока ($t=2$ мкс, конденсатор пуст) и нулём тока ($t=4$ мкс, конденсатор заряжен полностью), поэтому и ток, и заряд составляют примерно $0{,}71$ от своих амплитуд — энергия в этот момент поделена между катушкой и конденсатором поровну.