L/C контур (нет в… — Задание ЕГЭ по физике №00026414

Разберёмся в сюжете. В идеальном колебательном контуре — конденсатор и катушка — энергия всё время перебегает туда-сюда: то она целиком в электрическом поле конденсатора (когда заряд максимален, а ток равен нулю), то целиком в магнитном поле катушки (когда ток максимален, а конденсатор разряжен), то поделена между ними. Нам сообщили период колебаний, амплитуду тока и «мгновенный снимок»: в какой-то момент ток равен $3$ мА. Надо узнать, какой в этот же момент заряд на конденсаторе.

Объясним, почему работает закон сохранения энергии. Контур идеальный — активного сопротивления в нём нет, значит, на нагрев ничего не тратится и полная энергия колебаний остаётся неизменной: $$W=\frac{Li^{2}}{2}+\frac{q^{2}}{2C}=\text{const},$$ где $\dfrac{Li^{2}}{2}$ — энергия магнитного поля катушки, а $\dfrac{q^{2}}{2C}$ — энергия электрического поля конденсатора. В момент максимального тока конденсатор полностью разряжен ($q=0$), поэтому вся энергия равна $\dfrac{LI_m^{2}}{2}$. Второе, что нам нужно, — формула Томсона $T=2\pi\sqrt{LC}$: из неё вытащим произведение $LC$, ведь по отдельности ни $L$, ни $C$ в условии нет, а вместе они в ответ и войдут.

Шаг 1 — приравняем энергию в произвольный момент и в момент максимального тока: $$\frac{Li^{2}}{2}+\frac{q^{2}}{2C}=\frac{LI_m^{2}}{2}.$$

Шаг 2 — выразим заряд. Переносим и умножаем обе части на $2C$: $$\frac{q^{2}}{2C}=\frac{L\left(I_m^{2}-i^{2}\right)}{2}\quad\Rightarrow\quad q^{2}=LC\left(I_m^{2}-i^{2}\right)\quad\Rightarrow\quad q=\sqrt{LC}\cdot\sqrt{I_m^{2}-i^{2}}.$$

Шаг 3 — избавимся от неизвестных $L$ и $C$. Из формулы Томсона $$T=2\pi\sqrt{LC}\quad\Rightarrow\quad \sqrt{LC}=\frac{T}{2\pi}.$$ Подставляем: $$q=\frac{T}{2\pi}\sqrt{I_m^{2}-i^{2}}.$$

Шаг 4 — считаем. Сначала корень, он получается «пифагоровым»: $$\sqrt{I_m^{2}-i^{2}}=\sqrt{(5\cdot10^{-3})^{2}-(3\cdot10^{-3})^{2}}=10^{-3}\sqrt{25-9}=4\cdot10^{-3}\ \text{А}.$$ Теперь множитель с периодом ($T=6{,}3$ мкс $=6{,}3\cdot10^{-6}$ с): $$\frac{T}{2\pi}=\frac{6{,}3\cdot10^{-6}}{6{,}28}\approx 1{,}0\cdot10^{-6}\ \text{с}.$$ Перемножаем: $$q\approx 1{,}0\cdot10^{-6}\cdot 4\cdot10^{-3}=4\cdot10^{-9}\ \text{Кл}.$$

И всё сходится: ток составляет $0{,}6$ от своего максимума, значит, на магнитное поле приходится $0{,}36$ полной энергии, а на конденсатор — оставшиеся $0{,}64$; заряд же пропорционален корню из энергии, поэтому он равен $\sqrt{0{,}64}=0{,}8$ от амплитудного значения $q_m=\dfrac{I_m}{\omega}=\dfrac{I_m T}{2\pi}\approx 5$ нКл — те самые $4$ нКл.