Задание 23 ЕГЭ по физике: Период свободных электромагнитных колебаний в идеальном…

Разберёмся в сюжете. В идеальном колебательном контуре — конденсатор и катушка — энергия всё время перебегает туда-сюда: то она целиком в электрическом поле конденсатора (когда заряд максимален, а ток равен нулю), то целиком в магнитном поле катушки (когда ток максимален, а конденсатор разряжен), то поделена между ними. Нам сообщили период колебаний, амплитуду тока и «мгновенный снимок»: в какой-то момент ток равен 3 мА. Надо узнать, какой в этот же момент заряд на конденсаторе.

Объясним, почему работает закон сохранения энергии. Контур идеальный — активного сопротивления в нём нет, значит, на нагрев ничего не тратится и полная энергия колебаний остаётся неизменной: W=\frac{Li^{2}}{2}+\frac{q^{2}}{2C}=\text{const}, где \dfrac{Li^{2}}{2} — энергия магнитного поля катушки, а \dfrac{q^{2}}{2C} — энергия электрического поля конденсатора. В момент максимального тока конденсатор полностью разряжен (q=0), поэтому вся энергия равна \dfrac{LI_m^{2}}{2}. Второе, что нам нужно, — формула Томсона T=2\pi\sqrt{LC}: из неё вытащим произведение LC, ведь по отдельности ни L, ни C в условии нет, а вместе они в ответ и войдут.

Шаг 1 — приравняем энергию в произвольный момент и в момент максимального тока: \frac{Li^{2}}{2}+\frac{q^{2}}{2C}=\frac{LI_m^{2}}{2}.

Шаг 2 — выразим заряд. Переносим и умножаем обе части на 2C: \frac{q^{2}}{2C}=\frac{L\left(I_m^{2}-i^{2}\right)}{2}\quad\Rightarrow\quad q^{2}=LC\left(I_m^{2}-i^{2}\right)\quad\Rightarrow\quad q=\sqrt{LC}\cdot\sqrt{I_m^{2}-i^{2}}.

Шаг 3 — избавимся от неизвестных L и C. Из формулы Томсона T=2\pi\sqrt{LC}\quad\Rightarrow\quad \sqrt{LC}=\frac{T}{2\pi}. Подставляем: q=\frac{T}{2\pi}\sqrt{I_m^{2}-i^{2}}.

Шаг 4 — считаем. Сначала корень, он получается «пифагоровым»: \sqrt{I_m^{2}-i^{2}}=\sqrt{(5\cdot10^{-3})^{2}-(3\cdot10^{-3})^{2}}=10^{-3}\sqrt{25-9}=4\cdot10^{-3}\ \text{А}. Теперь множитель с периодом (T=6{,}3 мкс =6{,}3\cdot10^{-6} с): \frac{T}{2\pi}=\frac{6{,}3\cdot10^{-6}}{6{,}28}\approx 1{,}0\cdot10^{-6}\ \text{с}. Перемножаем: q\approx 1{,}0\cdot10^{-6}\cdot 4\cdot10^{-3}=4\cdot10^{-9}\ \text{Кл}.

И всё сходится: ток составляет 0{,}6 от своего максимума, значит, на магнитное поле приходится 0{,}36 полной энергии, а на конденсатор — оставшиеся 0{,}64; заряд же пропорционален корню из энергии, поэтому он равен \sqrt{0{,}64}=0{,}8 от амплитудного значения q_m=\dfrac{I_m}{\omega}=\dfrac{I_m T}{2\pi}\approx 5 нКл — те самые 4 нКл.