L/C контур (нет в… — Задание ЕГЭ по физике №00026404

Разберёмся, что связывает данные. Колебательный контур — это катушка и конденсатор, соединённые в кольцо; заряд перетекает туда-сюда, и в контуре идут свободные электромагнитные колебания с определённой частотой. Частота зависит только от индуктивности катушки и ёмкости конденсатора. Индуктивность и частота нам известны — значит, можно вычислить ёмкость. А ёмкость плоского конденсатора зависит от площади пластин и расстояния между ними; площадь дана, поэтому расстояние найдётся. Итого цепочка: частота и индуктивность → ёмкость → расстояние между пластинами.

Объясним, почему берём именно эти формулы. Контур по условию идеальный: сопротивления в нём нет, колебания не затухают, и их период даёт формула Томсона $T=2\pi\sqrt{LC}$. Частота — величина, обратная периоду, $\nu=\dfrac{1}{T}$, поэтому $$\nu=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}.$$ Конденсатор плоский и воздушный, значит, диэлектрическая проницаемость среды между пластинами $\varepsilon=1$, и его ёмкость считается по формуле $C=\dfrac{\varepsilon_0 S}{d}$, где $\varepsilon_0=8{,}85\cdot10^{-12}$ Ф/м — электрическая постоянная.

Шаг 1 — выразим ёмкость из формулы частоты. Возведём равенство в квадрат: $$\nu^{2}=\frac{1}{4\pi^{2}LC}\quad\Rightarrow\quad C=\frac{1}{4\pi^{2}\nu^{2}L}.$$

Шаг 2 — переведём всё в СИ: $L=5$ мкГн $=5\cdot10^{-6}$ Гн, $\nu=50$ МГц $=5\cdot10^{7}$ Гц, $S=4$ см² $=4\cdot10^{-4}$ м². Считаем ёмкость: $$C=\frac{1}{4\cdot 9{,}87\cdot (5\cdot10^{7})^{2}\cdot 5\cdot10^{-6}}=\frac{1}{39{,}5\cdot 2{,}5\cdot10^{15}\cdot 5\cdot10^{-6}}=\frac{1}{4{,}93\cdot10^{11}}\approx 2{,}0\cdot10^{-12}\ \text{Ф}.$$ Это около $2$ пикофарад — очень маленькая ёмкость, что для высокочастотного контура нормально.

Шаг 3 — найдём расстояние между пластинами из формулы плоского конденсатора: $$C=\frac{\varepsilon_0 S}{d}\quad\Rightarrow\quad d=\frac{\varepsilon_0 S}{C}=\frac{8{,}85\cdot10^{-12}\cdot 4\cdot10^{-4}}{2{,}0\cdot10^{-12}}=\frac{3{,}54\cdot10^{-15}}{2{,}0\cdot10^{-12}}\approx 1{,}7\cdot10^{-3}\ \text{м}.$$

Если хочется одной формулой, без промежуточного округления, подставь выражение для $C$ сразу: $$d=\varepsilon_0 S\cdot 4\pi^{2}\nu^{2}L=8{,}85\cdot10^{-12}\cdot 4\cdot10^{-4}\cdot 4{,}93\cdot10^{11}\approx 1{,}7\cdot10^{-3}\ \text{м}.$$

И всё сходится: получилось около полутора-двух миллиметров — совершенно реальный зазор для воздушного конденсатора. Если бы вышли микроны или метры, стоило бы искать потерянную приставку: чаще всего теряют «мк» в микрогенри, «М» в мегагерцах или забывают, что $1$ см² $=10^{-4}$ м².