Задание 23 ЕГЭ по физике: Идеальный колебательный контур состоит из катушки с…

Разберёмся, что связывает данные. Колебательный контур — это катушка и конденсатор, соединённые в кольцо; заряд перетекает туда-сюда, и в контуре идут свободные электромагнитные колебания с определённой частотой. Частота зависит только от индуктивности катушки и ёмкости конденсатора. Индуктивность и частота нам известны — значит, можно вычислить ёмкость. А ёмкость плоского конденсатора зависит от площади пластин и расстояния между ними; площадь дана, поэтому расстояние найдётся. Итого цепочка: частота и индуктивность → ёмкость → расстояние между пластинами.

Объясним, почему берём именно эти формулы. Контур по условию идеальный: сопротивления в нём нет, колебания не затухают, и их период даёт формула Томсона T=2\pi\sqrt{LC}. Частота — величина, обратная периоду, \nu=\dfrac{1}{T}, поэтому \nu=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}. Конденсатор плоский и воздушный, значит, диэлектрическая проницаемость среды между пластинами \varepsilon=1, и его ёмкость считается по формуле C=\dfrac{\varepsilon_0 S}{d}, где \varepsilon_0=8{,}85\cdot10^{-12} Ф/м — электрическая постоянная.

Шаг 1 — выразим ёмкость из формулы частоты. Возведём равенство в квадрат: \nu^{2}=\frac{1}{4\pi^{2}LC}\quad\Rightarrow\quad C=\frac{1}{4\pi^{2}\nu^{2}L}.

Шаг 2 — переведём всё в СИ: L=5 мкГн =5\cdot10^{-6} Гн, \nu=50 МГц =5\cdot10^{7} Гц, S=4 см² =4\cdot10^{-4} м². Считаем ёмкость: C=\frac{1}{4\cdot 9{,}87\cdot (5\cdot10^{7})^{2}\cdot 5\cdot10^{-6}}=\frac{1}{39{,}5\cdot 2{,}5\cdot10^{15}\cdot 5\cdot10^{-6}}=\frac{1}{4{,}93\cdot10^{11}}\approx 2{,}0\cdot10^{-12}\ \text{Ф}. Это около 2 пикофарад — очень маленькая ёмкость, что для высокочастотного контура нормально.

Шаг 3 — найдём расстояние между пластинами из формулы плоского конденсатора: C=\frac{\varepsilon_0 S}{d}\quad\Rightarrow\quad d=\frac{\varepsilon_0 S}{C}=\frac{8{,}85\cdot10^{-12}\cdot 4\cdot10^{-4}}{2{,}0\cdot10^{-12}}=\frac{3{,}54\cdot10^{-15}}{2{,}0\cdot10^{-12}}\approx 1{,}7\cdot10^{-3}\ \text{м}.

Если хочется одной формулой, без промежуточного округления, подставь выражение для C сразу: d=\varepsilon_0 S\cdot 4\pi^{2}\nu^{2}L=8{,}85\cdot10^{-12}\cdot 4\cdot10^{-4}\cdot 4{,}93\cdot10^{11}\approx 1{,}7\cdot10^{-3}\ \text{м}.

И всё сходится: получилось около полутора-двух миллиметров — совершенно реальный зазор для воздушного конденсатора. Если бы вышли микроны или метры, стоило бы искать потерянную приставку: чаще всего теряют «мк» в микрогенри, «М» в мегагерцах или забывают, что 1 см² =10^{-4} м².