L/C контур (нет… — Задание 23 ЕГЭ по физике №00043156

Что тут происходит. Идеальный колебательный контур — это конденсатор, замкнутый на катушку. Заряд перетекает с одной обкладки на другую через катушку и обратно, напряжение на конденсаторе и ток в катушке колеблются. Нам дали закон, по которому меняется напряжение, и наибольший ток, а нужно найти ёмкость конденсатора.

Шаг 1 — читаем закон колебаний. Гармоническое колебание в общем виде записывается так: $$U_C=U_0\sin(\omega t+\varphi_0),$$ где $U_0$ — амплитуда (наибольшее напряжение), $\omega$ — циклическая частота, $\varphi_0$ — начальная фаза. Сравниваем с нашей записью $U_C=0{,}2\sin(5000t+\pi)$: число перед синусом даёт $U_0=0{,}2$ В, множитель при $t$ даёт $\omega=5000$ рад/с. Начальная фаза $\pi$ говорит только о том, в какой момент начали отсчёт времени, на амплитуды она не влияет.

Шаг 2 — закон сохранения энергии. Контур идеальный, то есть сопротивления нет и энергия никуда не уходит, а только переходит из конденсатора в катушку и обратно. Когда напряжение на конденсаторе наибольшее, ток равен нулю и вся энергия сидит в электрическом поле конденсатора. Через четверть периода конденсатор разряжен, ток наибольший и вся энергия — в магнитном поле катушки. Приравниваем эти две энергии: $$\frac{CU_0^2}{2}=\frac{LI_{max}^2}{2}.$$

Шаг 3 — формула Томсона. Индуктивность $L$ нам не дана, но её можно выразить через частоту. Циклическая частота свободных колебаний контура связана с его индуктивностью и ёмкостью так: $$\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}\quad\Rightarrow\quad L=\frac{1}{\omega^2C}.$$

Шаг 4 — выражаем ёмкость. Подставим $L$ в равенство энергий и сократим двойки: $$CU_0^2=\frac{I_{max}^2}{\omega^2C}\quad\Rightarrow\quad C^2=\frac{I_{max}^2}{\omega^2U_0^2}\quad\Rightarrow\quad C=\frac{I_{max}}{\omega U_0}.$$

Шаг 5 — числа. Ток переводим в амперы: $I_{max}=2$ мА $=2\cdot10^{-3}$ А. Тогда $$C=\frac{2\cdot10^{-3}}{5000\cdot0{,}2}=\frac{2\cdot10^{-3}}{1000}=2\cdot10^{-6}\ \text{Ф}=2\ \text{мкФ}.$$

Проверим себя другим путём. Заряд конденсатора $q=CU_C$ меняется по тому же синусу, а ток — это скорость изменения заряда. У гармонического колебания амплитуда скорости изменения в $\omega$ раз больше амплитуды самой величины, поэтому $I_{max}=\omega CU_0$ — та же формула. И единицы сходятся: $\dfrac{\text{А}}{\text{с}^{-1}\cdot\text{В}}=\dfrac{\text{Кл}}{\text{В}}=\text{Ф}$.