Гидростатика — Задание 22 ЕГЭ по физике №00043154

Что происходит: в стакане внизу ртуть, сверху вода. Однородный железный шар плавает на границе: нижняя часть шара в ртути, верхняя — в воде. Железо тяжелее воды, но легче ртути, поэтому шар и «завис» между ними. Нужно найти, какая доля объёма шара находится в ртути.

Шаг 1 — силы на шар. Вниз действует сила тяжести $mg=\rho_{\text{ж}}Vg$, где $\rho_{\text{ж}}$ — плотность железа, $V$ — объём шара. Вверх выталкивают обе жидкости. По закону Архимеда каждая жидкость выталкивает шар с силой, равной весу вытесненной ею жидкости: ртуть — по объёму части шара в ртути $V_1$, вода — по объёму части в воде $V_2$, причём $V_1+V_2=V$.

Шаг 2 — условие плавания. Шар покоится, значит, по второму закону Ньютона сумма сил равна нулю: $$\rho_{\text{ж}}Vg=\rho_{\text{рт}}V_1g+\rho_{\text{в}}V_2g.$$

Шаг 3 — переходим к доле. Обозначим искомую долю $x=\dfrac{V_1}{V}$; тогда в воде доля $\dfrac{V_2}{V}=1-x$. Разделим уравнение на $Vg$: $$\rho_{\text{ж}}=\rho_{\text{рт}}x+\rho_{\text{в}}(1-x)\quad\Rightarrow\quad x=\frac{\rho_{\text{ж}}-\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{рт}}-\rho_{\text{в}}}.$$

Шаг 4 — числа из справочных данных: $\rho_{\text{ж}}=7800\ \text{кг/м}^3$, $\rho_{\text{рт}}=13\,600\ \text{кг/м}^3$, $\rho_{\text{в}}=1000\ \text{кг/м}^3$. $$x=\frac{7800-1000}{13\,600-1000}=\frac{6800}{12\,600}\approx0{,}54.$$

Проверим себя. Средняя плотность «вытесненного» — смеси $54\ \%$ ртути и $46\ \%$ воды — равна $0{,}54\cdot13\,600+0{,}46\cdot1000\approx7344+460\approx7800\ \text{кг/м}^3$, то есть плотности железа, как и должно быть при плавании. И предельный случай: будь плотность шара равна плотности воды, формула дала бы $x=0$ — шар плавал бы в воде, не касаясь ртути.