Задание 22 ЕГЭ по физике №00042889

Дано:

$H = 4$ м

$h = 3$ м

$\eta = 0{,}5$

$g = 10$ м/с²

Найти:

$v_0$ — ?

Запишем систему уравнений, состоящую из закона сохранения механической энергии и условия изменения импульса при ударе:

$\begin{cases} E_{п0} + E_{к0} = E_{п1} + E_{к1} \\ p_1 = 0{,}5p_0 \end{cases}$

где $E_{п0}$ — потенциальная энергия мяча на высоте $H$, $E_{к0}$ — кинетическая энергия мяча на высоте $H$, $E_{п1} = 0$ — потенциальная энергия мяча у поверхности земли, $E_{к1}$ — кинетическая энергия мяча при столкновении с землёй, $p_0$ — импульс до столкновения с землёй, $p_1$ — импульс после столкновения с землёй.

Расписав по формулам, получим:

$\begin{cases} 1 & mgH + \dfrac{mv_0^2}{2} = \dfrac{mv_1^2}{2} \\ 2 & 0{,}5mv_1 = mv_2 \end{cases}$

где $m$ — масса мяча, $v_0$ — начальная скорость, $v_1$ — скорость перед столкновением с землёй, $v_2$ — скорость после столкновения с землёй.

Из $(2)$ скорость после столкновения $v_2 = 0{,}5v_1$.

Запишем закон сохранения энергии при движении вверх до высоты $h$:

$\dfrac{mv_2^2}{2} = mgh$

Выразим скорость:

$v_2 = \sqrt{2gh} \quad (3)$

Значит:

$v_1 = \dfrac{\sqrt{2gh}}{0{,}5} \quad (4)$

Подставим $(3)$ и $(4)$ в $(1)$ и выразим начальную скорость $v_0$:

$mgH + \dfrac{mv_0^2}{2} = \dfrac{m}{2} \cdot \left(\dfrac{\sqrt{2gh}}{0{,}5}\right)^2$

$gH + \dfrac{v_0^2}{2} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2gh}{0{,}25}$

$gH + \dfrac{v_0^2}{2} = 4gh$

$\dfrac{v_0^2}{2} = 4gh - gH$

$v_0 = \sqrt{2g(4h - H)}$

Подставим численные значения:

$v_0 = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot (4 \cdot 3 - 4)} \approx 12{,}65$ м/с

Ответ: $v_0 = \sqrt{2g(4h - H)} \approx 12{,}65$ м/с