Задание 22 ЕГЭ по физике №00042888

Дано:

$l = 1$ м

$M = 100$ г

$m = 20$ г

$g = 10$ м/с²

СИ:

$M = 0{,}1$ кг

$m = 0{,}02$ кг

Найти:

$v_1$ — ?

Закон сохранения импульса связывает скорость пробирки $v_0$ со скоростью $v_1$ пробки сразу после вылета:

$Mv_0 = mv_1$

Здесь $M$ — масса пробирки, $m$ — масса пробки.

А закон сохранения механической энергии связывает скорость пробирки сразу после вылета с её скоростью $v_2$ в верхней точке:

$\dfrac{Mv_0^2}{2} = \dfrac{Mv_2^2}{2} + Mg \cdot 2l$

Второй закон Ньютона в векторном виде:

$M\vec{g} + \vec{T} = M\vec{a},$

где $T$ — сила натяжения нити, $a$ — ускорение тела.

Условие минимальности скорости $v_0$ означает, что пробирка совершает полный оборот в вертикальной плоскости, но при этом натяжение нити в верхней точке (и только в ней!) обращается в нуль. Центростремительное ускорение в верхней точке:

$a_ц = \dfrac{v_2^2}{l}$

Второй закон Ньютона в проекции на радиальное направление в этот момент принимает вид:

$Ma_ц = Mg = \dfrac{Mv_2^2}{l}$

Выразив отсюда $v_2^2$:

$v_2^2 = gl$

Подставим в закон сохранения механической энергии:

$\dfrac{Mv_0^2}{2} = \dfrac{Mgl}{2} + 2Mgl$

$\dfrac{Mv_0^2}{2} = \dfrac{5Mgl}{2}$

$v_0^2 = 5gl$

$v_0 = \sqrt{5gl}$

Из закона сохранения импульса:

$v_1 = \dfrac{M}{m}v_0 = \dfrac{M}{m}\sqrt{5gl}$

Подставим численные значения:

$v_1 = \dfrac{0{,}1\ кг}{0{,}02\ кг} \cdot \sqrt{5 \cdot 10\ м/с^2 \cdot 1\ м} \approx 35{,}4\ м/с$