ID: 00026391
Два шарика подвешены на вертикальных тонких нитях так, что они находятся на одной высоте. Между шариками находится сжатая и связанная нитью пружина. При пережигании связывающей нити пружина распрямляется, расталкивает шарики и падает вниз.
В результате нити отклоняются в разные стороны на одинаковые углы. Во сколько раз одна нить длиннее другой, если отношение масс $\dfrac{m_{2}}{m_{1}}$ = 1,5? Считать величину сжатия пружины во много раз меньше длин нитей.
Источник: ФИПИ
Что за конструкция. Два шарика висят рядом на вертикальных нитях, на одной высоте, а между ними зажата пружина, стянутая ниткой. Нитку пережигают — пружина распрямляется, расталкивает шарики в разные стороны и падает вниз, больше в событиях не участвуя. Шарики разлетаются, каждый качается на своей нити и отклоняется на некоторый угол. По условию углы отклонения получились одинаковыми, хотя массы разные ($\dfrac{m_2}{m_1}=1{,}5$). Спрашивается, во сколько раз одна нить длиннее другой.
Шаг 1 — толчок пружиной. До пережигания система покоилась, суммарный импульс был равен нулю. Расталкивание происходит быстро, а сжатие пружины мало по сравнению с длинами нитей — значит, нити за это время остаются практически вертикальными и горизонтальных внешних сил на систему не действует. Поэтому горизонтальный импульс сохраняется и остаётся нулевым: шарики разлетаются в противоположные стороны так, что $$m_1\upsilon_1=m_2\upsilon_2.$$ Отсюда $\dfrac{\upsilon_1}{\upsilon_2}=\dfrac{m_2}{m_1}=1{,}5$: лёгкий шарик улетает быстрее, тяжёлый — медленнее.
Шаг 2 — подъём на нити. Дальше каждый шарик — обычный маятник. Нить работы не совершает (она всё время перпендикулярна скорости), трения нет, поэтому для каждого шарика по отдельности выполняется закон сохранения механической энергии: вся кинетическая энергия у нижней точки переходит в потенциальную на высоте подъёма $$\dfrac{m_i\upsilon_i^2}{2}=m_i g h_i\quad\Rightarrow\quad h_i=\dfrac{\upsilon_i^2}{2g}.$$ Масса сократилась — высота подъёма зависит только от скорости.
Шаг 3 — переводим высоту в угол. Если нить длиной $l$ отклонилась на угол $\varphi$, шарик поднялся на $h=l(1-\cos\varphi)$. Углы у обоих шариков по условию одинаковы, значит множитель $(1-\cos\varphi)$ у них один и тот же, и высоты относятся так же, как длины нитей: $$\dfrac{h_1}{h_2}=\dfrac{l_1}{l_2}.$$
Шаг 4 — собираем ответ. Из шага 2 $\dfrac{h_1}{h_2}=\dfrac{\upsilon_1^2}{\upsilon_2^2}$, а из шага 1 $\dfrac{\upsilon_1}{\upsilon_2}=\dfrac{m_2}{m_1}$. Значит $$\dfrac{l_1}{l_2}=\left(\dfrac{m_2}{m_1}\right)^2=1{,}5^2=2{,}25.$$ То есть нить, на которой висит лёгкий шарик $m_1$, длиннее нити тяжёлого в $2{,}25$ раза.
Проверим логику направления. Лёгкий шарик получил бóльшую скорость, поэтому и поднялся бы выше. Чтобы при большей высоте подъёма угол вышел таким же, как у медленного шарика, его нить должна быть длиннее — что мы и получили. Всё сходится.
Почему такая модель. На этапе расталкивания применяем закон сохранения импульса: взаимодействие шариков через пружину — внутреннее, а внешние силы (тяжесть и натяжения нитей) в этот момент вертикальны, поэтому горизонтальную составляющую импульса они не меняют; оговорка про малое сжатие пружины нужна как раз для того, чтобы нити не успели заметно отклониться. На этапе подъёма импульс уже не сохраняется (нить дёргает шарик), зато сохраняется механическая энергия: сила натяжения нити перпендикулярна скорости и работы не совершает, а сила тяжести потенциальна. Про энергию пружины при этом можно ничего не знать — она входила бы в дополнительное уравнение, но для отношения масс и длин не нужна.