ID: 00026390
Маленький шарик массой m = 0,5 кг подвешен на лёгкой нерастяжимой нити длиной l = 0,8 м, которая разрывается при силе натяжения $T_{0} =8,6$ Н. Шарик отведён от положения равновесия (оно показано на рисунке пунктиром) и отпущен. Когда шарик проходит положение равновесия, нить обрывается, и шарик тут же абсолютно неупруго сталкивается с бруском, лежащим неподвижно на гладкой горизонтальной поверхности стола. Скорость бруска после удара u = 0,4 м/с. Какова масса M бруска? Считать, что брусок после удара движется поступательно.
Источник: ФИПИ
Проследим за событиями по порядку. Шарик массой $m=0{,}5$ кг висит на нити длиной $l=0{,}8$ м, его отвели в сторону и отпустили — получился маятник. Он проходит нижнюю точку (положение равновесия, на рисунке оно показано пунктиром), и именно там нить рвётся: натяжение достигает предельных $T_0=8{,}6$ Н. Освободившийся шарик тут же врезается в брусок, лежащий на гладком столе, и прилипает к нему. Скорость этой пары после удара $u=0{,}4$ м/с. Нужна масса бруска $M$.
Шаг 1 — почему нить рвётся именно внизу. В нижней точке шарик движется по окружности радиуса $l$, значит его ускорение центростремительное и направлено вверх, к точке подвеса: $a=\dfrac{\upsilon^2}{l}$. Второй закон Ньютона в проекции на вертикаль: вверх тянет нить, вниз — сила тяжести, $$T_0-mg=\dfrac{m\upsilon^2}{l}.$$ Как раз внизу скорость максимальна, поэтому и натяжение максимально — тут нить и не выдерживает.
Шаг 2 — скорость шарика перед ударом. Выражаем: $$\upsilon^2=\dfrac{l(T_0-mg)}{m}=\dfrac{0{,}8\cdot(8{,}6-0{,}5\cdot 10)}{0{,}5}=\dfrac{0{,}8\cdot 3{,}6}{0{,}5}=5{,}76,$$ значит $\upsilon=\sqrt{5{,}76}=2{,}4$ м/с. Заметь: сила натяжения $8{,}6$ Н заметно больше веса шарика $5$ Н — «лишние» $3{,}6$ Н как раз и разворачивают скорость по дуге.
Шаг 3 — удар. Столкновение абсолютно неупругое: шарик и брусок после удара движутся вместе со скоростью $u$. Механическая энергия при этом теряется, а импульс сохраняется — удар мгновенный, а стол гладкий, так что внешних горизонтальных сил нет: $$m\upsilon=(m+M)u.$$
Шаг 4 — считаем массу бруска. Слева $0{,}5\cdot 2{,}4=1{,}2$ кг$\cdot$м/с. Значит $(0{,}5+M)\cdot 0{,}4=1{,}2$, откуда $0{,}5+M=\dfrac{1{,}2}{0{,}4}=3$ и $M=3-0{,}5=2{,}5$ кг.
Проверка на здравый смысл: скорость упала с $2{,}4$ до $0{,}4$ м/с, то есть в $6$ раз — значит и общая масса выросла в $6$ раз, с $0{,}5$ до $3$ кг. Всё сходится.
Почему модель именно такая. До обрыва нити шарик — материальная точка, движущаяся по окружности, поэтому применим второй закон Ньютона с центростремительным ускорением $\dfrac{\upsilon^2}{l}$; нить нерастяжима, радиус постоянен, и это позволяет связать натяжение со скоростью. В момент удара переходим на закон сохранения импульса для системы «шарик + брусок»: удар происходит за пренебрежимо малое время, поверхность гладкая (трения нет), поэтому суммарный горизонтальный импульс не меняется. Закон сохранения энергии здесь применять нельзя — при абсолютно неупругом ударе часть механической энергии необратимо переходит во внутреннюю. Уточнение «брусок движется поступательно» нужно, чтобы можно было считать его материальной точкой и не думать о вращении.