ID: 00026389
Пластилиновый шарик в момент t = 0 бросают с горизонтальной поверхности Земли с начальной скоростью $\overset{\to}{\upsilon }_{0}$ под углом α к горизонту. Одновременно с некоторой высоты над поверхностью Земли начинает падать из состояния покоя другой такой же шарик. Шарики абсолютно неупруго сталкиваются в воздухе. Сразу после столкновения скорость шариков направлена горизонтально. В какой момент времени τ шарики упадут на Землю? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Источник: ФИПИ
Сюжет такой. В момент $t=0$ снизу бросают пластилиновый шарик со скоростью $\upsilon_0$ под углом $\alpha$ к горизонту, а сверху ровно в тот же момент отпускают из покоя второй такой же шарик. Где-то в воздухе они встречаются и слипаются (пластилин же), и сразу после слипания их общая скорость оказывается горизонтальной. Найти надо момент $\tau$, когда слипшийся комок упадёт на землю.
Шаг 1 — скорости обоих шариков к моменту встречи. Пусть встреча произошла в момент $t$. У брошенного шарика проекции скорости: горизонтальная $\upsilon_0\cos\alpha$ (она не меняется, ведь сопротивления нет) и вертикальная $\upsilon_0\sin\alpha-gt$. У падающего: горизонтальной нет вовсе, вертикальная равна $-gt$ (он стартовал из покоя и падает то же время).
Шаг 2 — что даёт слипание. Удар абсолютно неупругий, шарики одинаковой массы $m$. Импульс системы сохраняется, поэтому по каждой оси $m\upsilon_{1}+m\upsilon_{2}=2m\,\upsilon_{общ}$ — то есть общая скорость есть просто среднее арифметическое скоростей. По вертикали: $$\upsilon_{y}=\dfrac{(\upsilon_0\sin\alpha-gt)+(-gt)}{2}=\dfrac{\upsilon_0\sin\alpha-2gt}{2}.$$ По условию сразу после удара скорость горизонтальна, значит $\upsilon_y=0$, откуда $$t=\dfrac{\upsilon_0\sin\alpha}{2g}.$$ Красивая деталь: это ровно половина того времени, за которое брошенный шарик добрался бы до вершины своей траектории.
Шаг 3 — на какой высоте это случилось. Подставим найденное $t$ в закон движения брошенного шарика по вертикали: $$h=\upsilon_0\sin\alpha\cdot t-\dfrac{gt^2}{2}=\dfrac{\upsilon_0^2\sin^2\alpha}{2g}-\dfrac{g}{2}\cdot\dfrac{\upsilon_0^2\sin^2\alpha}{4g^2}=\dfrac{\upsilon_0^2\sin^2\alpha}{2g}-\dfrac{\upsilon_0^2\sin^2\alpha}{8g}=\dfrac{3\upsilon_0^2\sin^2\alpha}{8g}.$$ Высоту, с которой падал второй шарик, искать не нужно: она «подстроилась» сама — раз шарики встретились, значит второй стартовал именно с такой высоты, чтобы оказаться в этой точке.
Шаг 4 — полёт после слипания. Сразу после удара вертикальная скорость нулевая, то есть комок начинает падать с высоты $h$ фактически из состояния покоя по вертикали (горизонтальная скорость $\dfrac{\upsilon_0\cos\alpha}{2}$ на время падения не влияет — движения по осям независимы). Время падения: $h=\dfrac{gt_2^2}{2}$, откуда $$t_2=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}=\sqrt{\dfrac{2}{g}\cdot\dfrac{3\upsilon_0^2\sin^2\alpha}{8g}}=\sqrt{\dfrac{3\upsilon_0^2\sin^2\alpha}{4g^2}}=\dfrac{\sqrt3\,\upsilon_0\sin\alpha}{2g}.$$
Шаг 5 — общее время. Оно отсчитывается от $t=0$, поэтому складываем оба этапа: $$\tau=t+t_2=\dfrac{\upsilon_0\sin\alpha}{2g}+\dfrac{\sqrt3\,\upsilon_0\sin\alpha}{2g}=\dfrac{(1+\sqrt3)\,\upsilon_0\sin\alpha}{2g}\approx 1{,}37\dfrac{\upsilon_0\sin\alpha}{g}.$$
Сверим с интуицией. Если бы шарик летел один, он упал бы через $\dfrac{2\upsilon_0\sin\alpha}{g}$ — вдвое позже. И это логично: столкновение обнулило подъём на полпути к вершине, так что комок и поднялся ниже, и падал с меньшей высоты.
Почему такая модель. Оба шарика — материальные точки в однородном поле тяжести без сопротивления воздуха, поэтому у каждого движение по горизонтали равномерное, а по вертикали равноускоренное с ускорением $g$; движения по осям независимы, и это позволяет считать время падения только по вертикали. В момент удара работает закон сохранения импульса: удар мгновенный, а сила тяжести за это время дать заметный импульс не успевает. Механическую энергию применять нельзя — удар абсолютно неупругий, часть энергии уходит на деформацию пластилина.