Гидростатика — Задание 22 ЕГЭ по физике №00041673

Дано:

$\rho_1 = 900$ кг/м³

$\rho_2 = 3\rho_1$

Найти:

$\rho$ — ?

Сделаем рисунок, где $\rho_1$ и $\rho_2$ — плотность первой и второй жидкости соответственно, $M$ — масса шарика, $g$ — ускорение свободного падения.

Запишем второй закон Ньютона для шарика:

$\vec{F}{A_1} + \vec{F}{A_2} + M\vec{g} = \vec{0}$

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось, направленную вертикально вверх:

$F_{A_1} + F_{A_2} = Mg$

$\rho_1 V_1 g + \rho_2 V_2 g = \rho (V_1 + V_2) g$

где $V_1$ и $V_2$ — соответственно объёмы шарика, находящиеся выше и ниже границы раздела. Отсюда:

$\rho_1 \dfrac{V_1}{V_1 + V_2} + \rho_2 \dfrac{V_2}{V_1 + V_2} = \rho \quad (1)$

Доли объёма шарика, находящиеся выше и ниже границы раздела жидкостей, связаны соотношением

$\dfrac{V_1}{V_1 + V_2} + \dfrac{V_2}{V_1 + V_2} = 1 \quad (2)$

Выразим долю объёма $V_2$ шарика:

$\dfrac{V_2}{V_1 + V_2} = 1 - \dfrac{V_1}{V_1 + V_2}$

Подставим в уравнение (1):

$\rho_1 \dfrac{V_1}{V_1 + V_2} + \rho_2 \left(1 - \dfrac{V_1}{V_1 + V_2}\right) = \rho$

$\rho_1 \dfrac{V_1}{V_1 + V_2} - \rho_2 \dfrac{V_1}{V_1 + V_2} = \rho - \rho_2$

Выразим долю объёма $V_1$ шарика:

$\dfrac{V_1}{V_1 + V_2} = \dfrac{\rho_2 - \rho}{\rho_2 - \rho_1}$

По условию задачи $\dfrac{V_1}{V_1 + V_2} = \dfrac{1}{3}$, значит:

$\dfrac{\rho_2 - \rho}{\rho_2 - \rho_1} = \dfrac{1}{3}$

$3\rho_2 - 3\rho = \rho_2 - \rho_1$

$\rho = \dfrac{\rho_1 + 2\rho_2}{3}$

Так как $\rho_2 = 3\rho_1$:

$\rho = \dfrac{\rho_1 + 2 \cdot 3\rho_1}{3} = \dfrac{7\rho_1}{3}$

Подставим численные значения:

$\rho = \dfrac{7 \cdot 900\ \frac{кг}{м^3}}{3} = 2100\ \frac{кг}{м^3}$