Статика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00026657

Сначала сюжет. На наклонную плоскость положили цилиндр массой $m=1$ кг и радиусом $R=20\ \text{см}=0{,}2$ м. На цилиндр намотана нить, её свободный конец идёт вверх вдоль наклонной плоскости и привязан к вертикальной стенке — на рисунке видно, что нить сходит с верхней точки цилиндра и тянется параллельно наклонной плоскости. Цилиндр держат сразу две силы: натяжение нити и трение о плоскость. Чем круче наклон, тем сильнее цилиндр стремится соскользнуть и провернуться. Вопрос: при каком наибольшем угле $\alpha$ равновесие ещё возможно.

Обоснуем модель. Всё покоится, систему отсчёта связываем с неподвижной наклонной плоскостью (с Землёй) — она инерциальная, поэтому справедливы условия равновесия твёрдого тела. Цилиндр материальной точкой считать нельзя: он может проворачиваться, поэтому кроме равенства нулю суммы сил обязательно нужно равенство нулю суммы моментов. Нить невесома и нерастяжима, а значит, натяжение по ней одинаково и равно $T$; нить не скользит по цилиндру и параллельна плоскости, поэтому она сходит с цилиндра в точке, диаметрально противоположной точке касания с плоскостью (в «верхней» точке по отношению к плоскости), и её плечо относительно оси цилиндра равно $R$. Трение между цилиндром и плоскостью — сухое трение покоя: его модуль заранее не известен, известно лишь ограничение $F_{\text{тр}}\le\mu N$. Именно из этого неравенства и получится предельный угол. Момент удобнее всего считать относительно оси самого цилиндра: тогда сила тяжести и нормальная реакция моментов не создают.

Шаг 1 — силы. На цилиндр действуют: тяжесть $mg$ вниз (приложена в центре), нормальная реакция $N$ перпендикулярно наклонной плоскости, сила трения $F_{\text{тр}}$ вдоль плоскости в точке касания и натяжение $T$ вдоль плоскости вверх, приложенное в верхней точке цилиндра. Оси возьмём вдоль плоскости (вверх — положительно) и перпендикулярно ей.

Шаг 2 — моменты относительно оси цилиндра. Тяжесть приложена в центре — момента нет. Реакция $N$ направлена по радиусу к центру — момента тоже нет. Остаются две силы, обе приложены на расстоянии $R$ от оси и обе направлены вдоль плоскости: натяжение $T$ в верхней точке и трение $F_{\text{тр}}$ в нижней. Они вращают цилиндр в противоположные стороны, если направлены одинаково, поэтому равновесие моментов даёт $$TR=F_{\text{тр}}R\quad\Rightarrow\quad T=F_{\text{тр}}.$$ Отсюда сразу важный вывод: трение направлено вверх вдоль плоскости, как и натяжение, и по модулю ему равно.

Шаг 3 — проекция сил на наклонную плоскость. Вниз вдоль плоскости тянет составляющая тяжести $mg\sin\alpha$, вверх — натяжение $T$ и трение $F_{\text{тр}}$: $$T+F_{\text{тр}}=mg\sin\alpha.$$ С учётом $T=F_{\text{тр}}$ получаем $$2F_{\text{тр}}=mg\sin\alpha\quad\Rightarrow\quad F_{\text{тр}}=\frac{mg\sin\alpha}{2}.$$

Шаг 4 — проекция на перпендикуляр к плоскости. Нить и трение лежат в плоскости, поэтому остаются только $N$ и составляющая тяжести: $$N=mg\cos\alpha.$$

Шаг 5 — условие, что цилиндр не сорвётся. Трение покоя ограничено: $F_{\text{тр}}\le\mu N$. Подставляем: $$\frac{mg\sin\alpha}{2}\le\mu mg\cos\alpha.$$ Масса и $g$ сокращаются, делим на $\cos\alpha$ (при $\alpha\lt90^\circ$ он положителен): $$\tan\alpha\le2\mu.$$

Шаг 6 — число. $2\mu=2\cdot0{,}5=1$, значит $\tan\alpha\le1$, то есть $\alpha\le45^\circ$. Предельный угол $$\alpha_{\max}=45^\circ.$$

Обратите внимание: ни масса $m=1$ кг, ни радиус $R=20$ см в ответ не вошли — они сократились. Это разумно: нить как бы «делит» скатывающую силу пополам, поэтому цилиндр на нити держится вдвое круче, чем просто брусок (для бруска было бы $\tan\alpha\le\mu$, то есть около $26^\circ$).