ID: 00026657
Цилиндр массой m = 1 кг и радиусом R = 20 см, на который намотана нерастяжимая невесомая нить, положили на неподвижную наклонную плоскость, а конец нити прикрепили к вертикальной стенке. Нить не скользит по цилиндру, параллельна наклонной плоскости и перпендикулярна оси цилиндра (см. рисунок). Коэффициент трения между цилиндром и плоскостью μ = 0,5. При каком максимальном угле наклона плоскости к горизонту α цилиндр находится в равновесии? Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на цилиндр.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Источник: ФИПИ
Сначала сюжет. На наклонную плоскость положили цилиндр массой m=1 кг и радиусом R=20\ \text{см}=0{,}2 м. На цилиндр намотана нить, её свободный конец идёт вверх вдоль наклонной плоскости и привязан к вертикальной стенке — на рисунке видно, что нить сходит с верхней точки цилиндра и тянется параллельно наклонной плоскости. Цилиндр держат сразу две силы: натяжение нити и трение о плоскость. Чем круче наклон, тем сильнее цилиндр стремится соскользнуть и провернуться. Вопрос: при каком наибольшем угле \alpha равновесие ещё возможно.
Обоснуем модель. Всё покоится, систему отсчёта связываем с неподвижной наклонной плоскостью (с Землёй) — она инерциальная, поэтому справедливы условия равновесия твёрдого тела. Цилиндр материальной точкой считать нельзя: он может проворачиваться, поэтому кроме равенства нулю суммы сил обязательно нужно равенство нулю суммы моментов. Нить невесома и нерастяжима, а значит, натяжение по ней одинаково и равно T; нить не скользит по цилиндру и параллельна плоскости, поэтому она сходит с цилиндра в точке, диаметрально противоположной точке касания с плоскостью (в «верхней» точке по отношению к плоскости), и её плечо относительно оси цилиндра равно R. Трение между цилиндром и плоскостью — сухое трение покоя: его модуль заранее не известен, известно лишь ограничение F_{\text{тр}}\le\mu N. Именно из этого неравенства и получится предельный угол. Момент удобнее всего считать относительно оси самого цилиндра: тогда сила тяжести и нормальная реакция моментов не создают.
Шаг 1 — силы. На цилиндр действуют: тяжесть mg вниз (приложена в центре), нормальная реакция N перпендикулярно наклонной плоскости, сила трения F_{\text{тр}} вдоль плоскости в точке касания и натяжение T вдоль плоскости вверх, приложенное в верхней точке цилиндра. Оси возьмём вдоль плоскости (вверх — положительно) и перпендикулярно ей.
Шаг 2 — моменты относительно оси цилиндра. Тяжесть приложена в центре — момента нет. Реакция N направлена по радиусу к центру — момента тоже нет. Остаются две силы, обе приложены на расстоянии R от оси и обе направлены вдоль плоскости: натяжение T в верхней точке и трение F_{\text{тр}} в нижней. Они вращают цилиндр в противоположные стороны, если направлены одинаково, поэтому равновесие моментов даёт TR=F_{\text{тр}}R\quad\Rightarrow\quad T=F_{\text{тр}}. Отсюда сразу важный вывод: трение направлено вверх вдоль плоскости, как и натяжение, и по модулю ему равно.
Шаг 3 — проекция сил на наклонную плоскость. Вниз вдоль плоскости тянет составляющая тяжести mg\sin\alpha, вверх — натяжение T и трение F_{\text{тр}}: T+F_{\text{тр}}=mg\sin\alpha. С учётом T=F_{\text{тр}} получаем 2F_{\text{тр}}=mg\sin\alpha\quad\Rightarrow\quad F_{\text{тр}}=\frac{mg\sin\alpha}{2}.
Шаг 4 — проекция на перпендикуляр к плоскости. Нить и трение лежат в плоскости, поэтому остаются только N и составляющая тяжести: N=mg\cos\alpha.
Шаг 5 — условие, что цилиндр не сорвётся. Трение покоя ограничено: F_{\text{тр}}\le\mu N. Подставляем: \frac{mg\sin\alpha}{2}\le\mu mg\cos\alpha. Масса и g сокращаются, делим на \cos\alpha (при \alpha\lt90^\circ он положителен): \tan\alpha\le2\mu.
Шаг 6 — число. 2\mu=2\cdot0{,}5=1, значит \tan\alpha\le1, то есть \alpha\le45^\circ. Предельный угол \alpha_{\max}=45^\circ.
Обратите внимание: ни масса m=1 кг, ни радиус R=20 см в ответ не вошли — они сократились. Это разумно: нить как бы «делит» скатывающую силу пополам, поэтому цилиндр на нити держится вдвое круче, чем просто брусок (для бруска было бы \tan\alpha\le\mu, то есть около 26^\circ).