Статика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00041273

Обоснование

1. Введём инерциальную систему отсчёта (ИСО), связанную с Землёй.

2. Груз будем описывать моделью материальной точки, так как его размерами можно пренебречь.

3. Стержень будем описывать моделью абсолютно твёрдого тела — его форма и размеры неизменны, расстояние между любыми двумя точками остаётся неизменным.

4. Движение абсолютно твёрдого тела можно описать совокупностью движений — поступательного и вращательного. Поэтому для равновесия твёрдого тела в ИСО необходимо два условия: одно для поступательного движения, другое — для вращательного движения.

5. Сумма всех приложенных к твёрдому телу внешних сил равна нулю (условие равновесия твёрдого тела относительно поступательного движения). Также применимо правило моментов сил (условие равновесия твёрдого тела относительно вращательного движения).

6. На систему тел «стержень и груз» действуют следующие внешние силы: сила тяжести стержня $Mg$, направленная вертикально вниз и приложенная к центру масс стержня; сила тяжести груза $mg$, направленная вертикально вниз и приложенная к центру груза; силы упругости пружин $F_{у1}$ и $F_{у2}$, направленные вертикально вверх и приложенные к стержню в точках его подвеса к левой и правой пружинам соответственно.

7. Так как деформации пружины малы и не превышают предела упругости, применяем закон Гука.

Решение

Дано:

$M = 2$ кг

$L = 0{,}4$ м

$d = 0{,}05$ м

$k_2 = 3k$

Найти:

$m$ — ?

Сделаем рисунок с указанием сил, действующих на стержень, а также введём ось $Oy$.

Момент силы можно найти по формуле: $M_F = Fl$, где $F$ — сила, а $l$ — её плечо до рассматриваемой оси вращения. Тогда правило моментов сил относительно оси, проходящей через точку $A$:

$F_{у1}\dfrac{L}{2} + mg\left(\dfrac{L}{2} - d\right) = F_{у2}\dfrac{L}{2}$

Здесь: $F_{у1}\dfrac{L}{2}$ — момент силы упругости левой пружины относительно точки $A$; $mg\left(\dfrac{L}{2} - d\right)$ — момент силы тяжести груза относительно точки $A$; $F_{у2}\dfrac{L}{2}$ — момент силы упругости правой пружины относительно точки $A$.

Кроме того, по условию стержень расположен горизонтально (растяжения пружин одинаковы) и жёсткость левой пружины в 3 раза меньше правой. Тогда $F_{у1} = kx$ — сила упругости левой пружины, $F_{у2} = 3kx$ — сила упругости правой пружины, где $k$ — жёсткость левой пружины, $x$ — удлинение пружины. Тогда правило моментов сил запишется в виде:

$kx\dfrac{L}{2} + mg\left(\dfrac{L}{2} - d\right) = 3kx\dfrac{L}{2} \Rightarrow kx = \dfrac{mg(L - 2d)}{2L} \quad (1)$

Также по правилу моментов сил относительно оси, проходящей через точку $Б$:

$kxL = Mg\dfrac{L}{2} + mgd \quad (2)$

Здесь: $kxL$ — момент силы упругости левой пружины относительно точки $Б$; $Mg\dfrac{L}{2}$ — момент силы тяжести стержня относительно точки $Б$; $mgd$ — момент силы тяжести груза относительно точки $Б$.

Подставив $(1)$ в $(2)$, получим:

$mg(L - 2d) = MgL + 2mgd$

Тогда:

$m = \dfrac{ML}{L - 4d} = \dfrac{2 \cdot 0{,}4}{0{,}4 - 4 \cdot 0{,}05} = 4$ кг

Ответ:

$m = \dfrac{ML}{L - 4d} = 4$ кг