ID: 00041271
Тяжёлый однородный тонкий стержень, одним концом шарнирно прикреплённый к неподвижной опоре, другим концом опирается на доску, лежащую на гладком горизонтальном столе, причём угол между доской и стержнем $\alpha = 30^\circ$ (см. рисунок). Если к доске приложить горизонтальную силу, по модулю равную $F_1 = 1$ Н и направленную вдоль доски влево, она будет двигаться в ту же сторону с постоянной скоростью. С какой по модулю силой $F_2$ можно привести доску в равномерное движение в противоположном направлении? Коэффициент трения между стержнем и доской $\mu = 0{,}3$. Трением доски о поверхность стола можно пренебречь. Укажите применимость законов, которые вы использовали для решения этой задачи.
Обоснование
1. Все рассуждения проводим в инерциальной системе отсчёта, связанной со столом.
2. Стержень считаем моделью абсолютно твёрдого тела: его форма и размеры не меняются.
3. Движение абсолютно твёрдого тела описывается совокупностью поступательного и вращательного движения.
4. Стержень покоится, поэтому выполняются оба условия равновесия абсолютно твёрдого тела: векторная сумма всех сил, действующих на стержень, равна нулю, и алгебраическая сумма моментов этих сил относительно любой оси равна нулю. Доска движется равномерно и прямолинейно, поэтому и для неё сумма сил равна нулю.
5. Нормальная составляющая силы реакции доски направлена перпендикулярно её поверхности, то есть вертикально вверх, а сила трения скольжения направлена вдоль поверхности доски против направления движения доски относительно стержня. Именно поэтому при смене направления движения доски сила трения меняет направление на противоположное, а её модуль остаётся равным $\mu N$.
6. Стержень однородный, поэтому его центр тяжести находится в середине стержня, и сила тяжести приложена именно в этой точке, на расстоянии $\dfrac{l}{2}$ от шарнира.
Решение
При движении доски влево на стержень действуют силы, модули и направления которых указаны на рисунке, где $N$ — модуль нормальной составляющей силы реакции доски, $F_{тр} = \mu N$ — модуль силы трения скольжения, $mg$ — модуль силы тяжести ($m$ — масса стержня), $R$ — модуль силы реакции шарнира.
Пусть $l$ — длина стержня. Уравнение моментов, записанное относительно оси, проходящей через точку подвеса стержня (точку $O$), имеет вид:
$mg\dfrac{l}{2}\cos\alpha = Nl\cos\alpha + \mu Nl\sin\alpha$
Откуда:
$N = \dfrac{mg}{2(1 + \mu,tg,\alpha)}$
Поскольку влево доска движется равномерно:
$F_1 = F_{тр} = \mu N = \dfrac{\mu mg}{2(1 + \mu,tg,\alpha)}$
При движении доски вправо сила трения изменит направление на противоположное. Проводя аналогичные преобразования, получим:
$F_2 = \dfrac{\mu mg}{2(1 - \mu,tg,\alpha)}$
Поделим между собой уравнения для двух случаев и выразим искомую силу:
$F_2 = F_1\dfrac{1 + \mu,tg,\alpha}{1 - \mu,tg,\alpha} = 1 \cdot \dfrac{1 + 0{,}3 \cdot tg,30^\circ}{1 - 0{,}3 \cdot tg,30^\circ} \approx 1{,}42$ Н
Ответ:
$F_2 = F_1\dfrac{1 + \mu,tg,\alpha}{1 - \mu,tg,\alpha} \approx 1{,}42$ Н
$F_2 = F_1\dfrac{1 + \mu,tg,\alpha}{1 - \mu,tg,\alpha} \approx 1{,}42$ Н