ID: 00026660
Невесомый стержень АВ с двумя малыми грузиками массами m _{1} = 100 г и m _{2} = 200 г, расположенными в точках C и B соответственно, шарнирно закреплён в точке А . Груз массой M = 200 г подвешен к идеальному блоку за невесомую и нерастяжимую нить, другой конец которой соединён с нижним концом стержня, как показано на рисунке. Вся система находится в равновесии, если стержень отклонён от вертикали на угол a = 45 ° , а нить составляет угол с вертикалью, равный b = 15 ° . Расстояние АС = b = 25 см. Определите длину l стержня АВ , пренебрегая трением в шарнире. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на груз M и стержень.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Источник: ФИПИ
Разберёмся с конструкцией на рисунке. К потолку в точке A на шарнире подвешен невесомый стержень AB, отклонённый от вертикали на угол \alpha=45^\circ и уходящий вниз-вправо. На стержне два грузика: m_1=100\ \text{г}=0{,}1 кг в точке C на расстоянии AC=b=25\ \text{см}=0{,}25 м от шарнира и m_2=200\ \text{г}=0{,}2 кг на самом конце B. От конца B вверх-вправо тянется нить к идеальному блоку под потолком, а с блока нить вертикально спускается к грузу M=200\ \text{г}=0{,}2 кг. Участок нити BP составляет с вертикалью угол \beta=15^\circ. Система покоится; надо найти длину стержня l=AB.
Обоснуем модель. Всё неподвижно, систему отсчёта связываем с Землёй — она инерциальная, поэтому справедливы условия равновесия. Груз M висит неподвижно и является материальной точкой: сумма сил, действующих на него, равна нулю, значит натяжение вертикального участка нити равно Mg. Блок идеальный (невесомый, без трения в оси), нить невесома и нерастяжима — такой блок лишь меняет направление нити, но не меняет модуль натяжения, поэтому по всей нити натяжение одинаково: T=Mg. Стержень невесом, поэтому собственного момента силы тяжести не создаёт, и все моменты дают только грузики и нить; грузики маленькие — материальные точки, приложенные в C и B. Стержень — твёрдое тело на шарнире: он может лишь поворачиваться вокруг оси, проходящей через A, поэтому записываем правило моментов относительно этой оси. Тогда неизвестная реакция шарнира выпадает — её плечо равно нулю, а трением в шарнире по условию пренебрегаем, значит и момента сил трения нет.
Шаг 1 — кто создаёт момент. Относительно точки A момент создают три силы: тяжесть m_1g в точке C, тяжесть m_2g в точке B и натяжение T=Mg, приложенное к концу B. Тяжести стремятся ещё сильнее «уронить» стержень от вертикали, нить возвращает его обратно; в равновесии моменты равны.
Шаг 2 — плечи сил тяжести. Момент вертикальной силы относительно A равен произведению силы на горизонтальное смещение точки приложения. Точка C смещена на b\sin\alpha, точка B — на l\sin\alpha. Суммарный момент сил тяжести: M_{\text{тяж}}=g\sin\alpha\,(m_1b+m_2l).
Шаг 3 — момент натяжения. Он равен T\,l\,\sin\varphi, где \varphi — угол между стержнем и нитью. Стержень уходит от A вниз-вправо под углом \alpha к вертикали, а нить от точки B поднимается вверх-вправо под углом \beta к вертикали. Если продолжить стержень мысленно вниз за точку B, угол между этим продолжением и нитью окажется равным \alpha+\beta, поэтому \sin\varphi=\sin(\alpha+\beta): M_{\text{нити}}=Mgl\sin(\alpha+\beta).
Шаг 4 — правило моментов. Mgl\sin(\alpha+\beta)=g\sin\alpha\,(m_1b+m_2l). Ускорение свободного падения сокращается, и остаётся уравнение относительно l: Ml\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\,(m_1b+m_2l).
Шаг 5 — выражаем длину. Соберём слагаемые с l: l\big(M\sin(\alpha+\beta)-m_2\sin\alpha\big)=m_1b\sin\alpha, l=\frac{m_1b\sin\alpha}{M\sin(\alpha+\beta)-m_2\sin\alpha}.
Шаг 6 — числа. \alpha+\beta=45^\circ+15^\circ=60^\circ, \sin60^\circ\approx0{,}866, \sin45^\circ\approx0{,}707. Числитель: 0{,}1\cdot0{,}25\cdot0{,}707\approx0{,}0177. Знаменатель: 0{,}2\cdot0{,}866-0{,}2\cdot0{,}707=0{,}1732-0{,}1414=0{,}0318. Тогда l\approx\frac{0{,}0177}{0{,}0318}\approx0{,}56\ \text{м}.
Проверим себя: полученная длина заметно больше расстояния AC=0{,}25 м, то есть грузик C действительно сидит на стержне, а не за его концом. Кроме того, знаменатель положителен только потому, что M\sin60^\circ больше m_2\sin45^\circ, — если бы груз M был слишком лёгким, нить не смогла бы удержать стержень ни при какой длине.