ID: 00026660
Невесомый стержень АВ с двумя малыми грузиками массами $m_{1}$ = 100 г и $m_{2}$ = 200 г, расположенными в точках C и B соответственно, шарнирно закреплён в точке А . Груз массой M = 200 г подвешен к идеальному блоку за невесомую и нерастяжимую нить, другой конец которой соединён с нижним концом стержня, как показано на рисунке. Вся система находится в равновесии, если стержень отклонён от вертикали на угол a = 45 ° , а нить составляет угол с вертикалью, равный b = 15 ° . Расстояние АС = b = 25 см. Определите длину l стержня АВ , пренебрегая трением в шарнире. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на груз M и стержень.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Источник: ФИПИ
Разберёмся с конструкцией на рисунке. К потолку в точке $A$ на шарнире подвешен невесомый стержень $AB$, отклонённый от вертикали на угол $\alpha=45^\circ$ и уходящий вниз-вправо. На стержне два грузика: $m_1=100\ \text{г}=0{,}1$ кг в точке $C$ на расстоянии $AC=b=25\ \text{см}=0{,}25$ м от шарнира и $m_2=200\ \text{г}=0{,}2$ кг на самом конце $B$. От конца $B$ вверх-вправо тянется нить к идеальному блоку под потолком, а с блока нить вертикально спускается к грузу $M=200\ \text{г}=0{,}2$ кг. Участок нити $BP$ составляет с вертикалью угол $\beta=15^\circ$. Система покоится; надо найти длину стержня $l=AB$.
Обоснуем модель. Всё неподвижно, систему отсчёта связываем с Землёй — она инерциальная, поэтому справедливы условия равновесия. Груз $M$ висит неподвижно и является материальной точкой: сумма сил, действующих на него, равна нулю, значит натяжение вертикального участка нити равно $Mg$. Блок идеальный (невесомый, без трения в оси), нить невесома и нерастяжима — такой блок лишь меняет направление нити, но не меняет модуль натяжения, поэтому по всей нити натяжение одинаково: $T=Mg$. Стержень невесом, поэтому собственного момента силы тяжести не создаёт, и все моменты дают только грузики и нить; грузики маленькие — материальные точки, приложенные в $C$ и $B$. Стержень — твёрдое тело на шарнире: он может лишь поворачиваться вокруг оси, проходящей через $A$, поэтому записываем правило моментов относительно этой оси. Тогда неизвестная реакция шарнира выпадает — её плечо равно нулю, а трением в шарнире по условию пренебрегаем, значит и момента сил трения нет.
Шаг 1 — кто создаёт момент. Относительно точки $A$ момент создают три силы: тяжесть $m_1g$ в точке $C$, тяжесть $m_2g$ в точке $B$ и натяжение $T=Mg$, приложенное к концу $B$. Тяжести стремятся ещё сильнее «уронить» стержень от вертикали, нить возвращает его обратно; в равновесии моменты равны.
Шаг 2 — плечи сил тяжести. Момент вертикальной силы относительно $A$ равен произведению силы на горизонтальное смещение точки приложения. Точка $C$ смещена на $b\sin\alpha$, точка $B$ — на $l\sin\alpha$. Суммарный момент сил тяжести: $$M_{\text{тяж}}=g\sin\alpha\,(m_1b+m_2l).$$
Шаг 3 — момент натяжения. Он равен $T\,l\,\sin\varphi$, где $\varphi$ — угол между стержнем и нитью. Стержень уходит от $A$ вниз-вправо под углом $\alpha$ к вертикали, а нить от точки $B$ поднимается вверх-вправо под углом $\beta$ к вертикали. Если продолжить стержень мысленно вниз за точку $B$, угол между этим продолжением и нитью окажется равным $\alpha+\beta$, поэтому $\sin\varphi=\sin(\alpha+\beta)$: $$M_{\text{нити}}=Mgl\sin(\alpha+\beta).$$
Шаг 4 — правило моментов. $$Mgl\sin(\alpha+\beta)=g\sin\alpha\,(m_1b+m_2l).$$ Ускорение свободного падения сокращается, и остаётся уравнение относительно $l$: $$Ml\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\,(m_1b+m_2l).$$
Шаг 5 — выражаем длину. Соберём слагаемые с $l$: $$l\big(M\sin(\alpha+\beta)-m_2\sin\alpha\big)=m_1b\sin\alpha,$$ $$l=\frac{m_1b\sin\alpha}{M\sin(\alpha+\beta)-m_2\sin\alpha}.$$
Шаг 6 — числа. $\alpha+\beta=45^\circ+15^\circ=60^\circ$, $\sin60^\circ\approx0{,}866$, $\sin45^\circ\approx0{,}707$. Числитель: $0{,}1\cdot0{,}25\cdot0{,}707\approx0{,}0177$. Знаменатель: $0{,}2\cdot0{,}866-0{,}2\cdot0{,}707=0{,}1732-0{,}1414=0{,}0318$. Тогда $$l\approx\frac{0{,}0177}{0{,}0318}\approx0{,}56\ \text{м}.$$
Проверим себя: полученная длина заметно больше расстояния $AC=0{,}25$ м, то есть грузик $C$ действительно сидит на стержне, а не за его концом. Кроме того, знаменатель положителен только потому, что $M\sin60^\circ$ больше $m_2\sin45^\circ$, — если бы груз $M$ был слишком лёгким, нить не смогла бы удержать стержень ни при какой длине.