ID: 00026656
Невесомый стержень АВ с двумя малыми грузиками массами m _{1} = 200 г и m _{2} = 100 г, расположенными в точках C и B соответственно, шарнирно закреплён в точке А . Груз массой M = 100 г подвешен к невесомому блоку за невесомую и нерастяжимую нить, другой конец которой соединён с нижним концом стержня, как показано на рисунке. Вся система находится в равновесии: если стержень отклонён от вертикали на угол α = 30 ° , а нить составляет угол с вертикалью, равный β = 30 ° . Расстояние АС = b = 25 см. Определите длину l стержня АВ . Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на груз M и стержень.
Источник: ФИПИ
Разберёмся, что нарисовано. К потолку в точке A на шарнире подвешен невесомый стержень AB; он отклонён от вертикали на угол \alpha=30^\circ и уходит вниз-вправо. На стержне сидят два грузика: m_1=200\ \text{г}=0{,}2 кг в точке C на расстоянии b=25\ \text{см}=0{,}25 м от шарнира и m_2=100\ \text{г}=0{,}1 кг на самом конце B. От конца B вверх-вправо идёт нить к блоку, закреплённому на потолке; перекинувшись через блок, нить вертикально спускается к грузу M=100\ \text{г}=0{,}1 кг. Участок нити BP составляет с вертикалью угол \beta=30^\circ. Вся конструкция стоит неподвижно. Найти длину стержня l=AB.
Обоснуем модель. Всё покоится, система отсчёта связана с Землёй — инерциальная, значит справедливы условия равновесия. Груз M — материальная точка: он висит неподвижно, поэтому натяжение вертикального участка нити равно Mg. Блок идеальный (невесомый, без трения в оси), а нить невесома и нерастяжима — такой блок только меняет направление нити, но не меняет модуль натяжения, поэтому по всей нити натяжение одно и то же: T=Mg. Стержень невесом — его собственный вес в уравнения не входит, и все моменты создают только грузики и нить. Грузики маленькие, считаем их материальными точками, приложенными в точках C и B. Стержень — твёрдое тело, закреплённое на шарнире в точке A: он может только поворачиваться вокруг A, поэтому удобнее всего записать правило моментов относительно оси, проходящей через A — тогда неизвестная реакция шарнира сразу выпадает из уравнения (её плечо равно нулю), а трением в шарнире пренебрегаем, так что момента сил трения тоже нет.
Шаг 1 — какие силы создают момент. Относительно точки A момент дают три силы: тяжесть m_1g в точке C, тяжесть m_2g в точке B и натяжение нити T=Mg в точке B. Тяжести вращают стержень «вниз-вправо», то есть увеличивают наклон, а нить тянет конец B вверх-вправо и вращает стержень обратно, к вертикали. В равновесии эти моменты равны.
Шаг 2 — плечи сил тяжести. Момент вертикальной силы относительно A равен произведению силы на горизонтальное смещение точки приложения. Точка C смещена по горизонтали на b\sin\alpha, точка B — на l\sin\alpha. Значит, суммарный «опрокидывающий» момент равен M_{\text{тяж}}=m_1gb\sin\alpha+m_2gl\sin\alpha=g\sin\alpha\,(m_1b+m_2l).
Шаг 3 — плечо натяжения. Момент силы равен T\cdot l\cdot\sin\varphi, где \varphi — угол между стержнем AB и направлением нити BP. Стержень отклонён от вертикали вниз-вправо на \alpha, а нить уходит от точки B вверх-вправо под углом \beta к вертикали. Продолжив стержень мысленно за точку B вниз, легко увидеть: угол между продолжением стержня и нитью равен \alpha+\beta, поэтому \sin\varphi=\sin(\alpha+\beta). Момент нити: M_{\text{нити}}=Mgl\sin(\alpha+\beta).
Шаг 4 — правило моментов. Mgl\sin(\alpha+\beta)=g\sin\alpha\,(m_1b+m_2l). Ускорение свободного падения сокращается: Ml\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\,(m_1b+m_2l).
Шаг 5 — выражаем l. Соберём слагаемые с l слева: l\big(M\sin(\alpha+\beta)-m_2\sin\alpha\big)=m_1b\sin\alpha, l=\frac{m_1b\sin\alpha}{M\sin(\alpha+\beta)-m_2\sin\alpha}.
Шаг 6 — числа. \alpha=\beta=30^\circ, значит \sin\alpha=0{,}5, \sin(\alpha+\beta)=\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}\approx0{,}866. Числитель: 0{,}2\cdot0{,}25\cdot0{,}5=0{,}025. Знаменатель: 0{,}1\cdot0{,}866-0{,}1\cdot0{,}5=0{,}0866-0{,}05=0{,}0366. Тогда l=\frac{0{,}025}{0{,}0366}\approx0{,}68\ \text{м}. В точном виде l=0{,}25\,(\sqrt3+1)\approx0{,}683\ \text{м}, то есть примерно 68 см.
Проверим себя: длина получилась заметно больше расстояния AC=0{,}25 м, значит грузик C действительно сидит на стержне, а не за его концом — результат непротиворечив.