Статика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00041332

Обоснование

1. Введём инерциальную систему отсчёта (ИСО), связанную с Землёй.

2. Стержень будем описывать моделью абсолютно твёрдого тела — его форма и размеры неизменны, расстояние между любыми двумя точками остаётся неизменным.

3. Движение абсолютно твёрдого тела можно описать совокупностью движений — поступательного и вращательного. Поэтому для равновесия твёрдого тела в ИСО необходимо два условия. Одно для поступательного движения, другое — для вращательного движения.

4. Векторная сумма всех приложенных к твёрдому телу внешних сил равна нулю (условие равновесия твёрдого тела относительно поступательного движения). Также применимо правило моментов сил (условие равновесия твёрдого тела относительно вращательного движения).

5. Размеры шарика малы по сравнению с размером стержня, поэтому будем описывать шарик моделью материальной точки.

6. Для материальных точек в ИСО применимы законы Ньютона.

7. По третьему закону Ньютона сила реакции опоры на шарик равна по модулю и противоположна по направлению весу шарика на стержень:

$P = N.$

8. Также по третьему закону Ньютона суммарная сила реакции опоры на стержень равна по модулю и противоположна по направлению общему весу стержня на опоры.

9. На систему тел «стержень и шарик» действуют следующие внешние силы: сила тяжести шарика $mg$, направленная вертикально вниз и приложенная к центру шарика; сила тяжести стержня $Mg$, направленная вертикально вниз и приложенная к центру масс стержня $O$; силы реакции опор $N_1$ и $N_2$, направленные вертикально вверх и приложенные к стержню в точках его контакта с опорами $B$ и $A$ соответственно.

Решение

Дано:

$L = 0{,}6$ м

$\alpha = \dfrac{2}{5}$

$M = 3m$

Найти:

$S$ — ?

Расставим силы, действующие на тела, а также введём ось $Oy$.

Запишем второй закон Ньютона для шарика:

$\vec{N} + m\vec{g} = \vec{0}$

Спроецируем его на ось $Oy$ с учётом пункта 7 обоснования:

$N = mg = P$

Запишем условие равновесия для стержня относительно поступательного движения:

$\vec{N}_1 + \vec{N}_2 + \vec{P} + M\vec{g} = \vec{0}$

Спроецируем его на ось $Oy$:

$N_1 + N_2 = Mg + P = Mg + mg \quad (1)$

Запишем условие разности сил реакции опоры с учётом пункта 8 обоснования — вес стержня равен сумме сил реакции опоры:

$N_2 - N_1 = \dfrac{2}{5}(N_1 + N_2) = \dfrac{2}{5}(Mg + mg) \quad (2)$

Сложим уравнения (1) и (2) и выразим силу реакции левой опоры:

$2N_2 = Mg + mg + \dfrac{2}{5}(Mg + mg) \Rightarrow N_2 = \dfrac{7}{10}(M + m)g \quad (3)$

Вычтем уравнение (2) из уравнения (1) и найдём силу реакции правой опоры:

$2N_1 = Mg + mg - \dfrac{2}{5}(Mg + mg) \Rightarrow N_1 = \dfrac{3}{10}(M + m)g \quad (4)$

Момент силы можно найти по формуле $M_F = Fl$, где $F$ — сила, а $l$ — её плечо до рассматриваемой оси вращения.

Запишем правило моментов сил относительно оси, проходящей через точку $O$:

$PL + N_1(S - L) = N_2 L$

Подставим формулу веса шарика и уравнения (3) и (4):

$mgL + \dfrac{3}{10}(M + m)g(S - L) = \dfrac{7}{10}(M + m)gL$

Так как по условию:

$\dfrac{m}{M} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow m = \dfrac{M}{3}$

Подставим данное отношение в наше уравнение:

$\dfrac{ML}{3} + \dfrac{3}{10}\left(M + \dfrac{M}{3}\right)(S - L) = \dfrac{7}{10}\left(M + \dfrac{M}{3}\right)L$

$\dfrac{3}{10}\left(\dfrac{3M + M}{3}\right)(S - L) = \dfrac{7}{10}\left(\dfrac{3M + M}{3}\right)L - \dfrac{ML}{3}$

Избавимся от знаменателя:

$3 \cdot 4M(S - L) = 7 \cdot 4ML - 10ML$

Выразим искомое расстояние:

$S = \dfrac{18ML + 12ML}{12M} = \dfrac{5L}{2}$

Подставим численные значения:

$S = \dfrac{5 \cdot 0{,}6}{2} = 1{,}5$ м

Ответ: $S = \dfrac{5L}{2} = 1{,}5$ м