Динамика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00041336

Обоснование

1. Введём инерциальную систему отсчёта (ИСО), связанную с Землёй.

2. Размеры грузов малы по сравнению с размерами штанги, поэтому будем описывать грузы моделью материальной точки.

3. Описывать движение материальных точек в ИСО будем вторым законом Ньютона.

4. Нить невесома, и по условию натяжение нити с обеих сторон от оси одинаково, поэтому для обоих грузов модуль силы натяжения равен $T$.

5. При вращении тела будут двигаться по окружности, при этом ускорение тел будет центростремительное.

6. Так как грузы находятся на одном стержне, то полный оборот они совершают за одно и то же время, т. е. периоды их обращения равны. Период можно рассчитать по формуле $T_{об} = \dfrac{2\pi}{\omega}$, так как периоды равны, то равны и угловые скорости вращения. Период и частота связаны соотношением $T_{об} = \dfrac{1}{\nu}$, а так как периоды равны, то и частоты тоже будут равны.

Решение

Дано:

$m_1 = 0{,}1$ кг

$m_2 = 0{,}4$ кг

$\nu = 15$ об/с

$T = 150$ Н

Найти:

$l$ — ?

Изобразим на рисунке силы, действующие на грузы, а также введём оси $O_1x_1$ и $O_2x_2$.

Запишем второй закон Ньютона в векторном виде:

$\begin{cases} m_1\vec{g} + \vec{T}_1 + \vec{N}_1 = m_1\vec{a}_1 \\ m_2\vec{g} + \vec{T}_2 + \vec{N}_2 = m_2\vec{a}_2 \end{cases}$

Спроецируем второй закон Ньютона на оси:

$\begin{cases} O_1x_1: & T_1 = m_1a_1 \\ O_2x_2: & T_2 = m_2a_2 \end{cases}$

где $a_1 = \omega^2 R_1$, $a_2 = \omega^2 R_2$ — центростремительные ускорения грузов, $\omega = 2\pi\nu$ — циклическая частота, $R$ — радиус обращения.

Так как $T_1 = T_2$, с учётом формулы ускорения и циклической частоты получим:

$\begin{cases} T = (2\pi\nu)^2 m_1 R_1 \Rightarrow R_1 = \dfrac{T}{(2\pi\nu)^2 m_1} & (1) \\ T = (2\pi\nu)^2 m_2 R_2 \Rightarrow R_2 = \dfrac{T}{(2\pi\nu)^2 m_2} & (2) \end{cases}$

Подставим найденные радиусы в формулу длины нити $l = R_1 + R_2$:

$l = R_1 + R_2 = \dfrac{T}{(2\pi\nu)^2 m_1} + \dfrac{T}{(2\pi\nu)^2 m_2}$

Приведём к общему знаменателю:

$l = \dfrac{Tm_2 + Tm_1}{m_1 m_2 (2\pi\nu)^2}$

Отсюда длина нити:

$l = \dfrac{T \cdot (m_1 + m_2)}{m_1 m_2 (2\pi\nu)^2} = \dfrac{150\ Н \cdot (0{,}1 + 0{,}4)\ кг}{0{,}1\ кг \cdot 0{,}4\ кг \cdot (2 \cdot 3{,}14 \cdot 15\ об/с)^2} \approx 0{,}21$ м

Ответ: $l = \dfrac{T \cdot (m_1 + m_2)}{m_1 m_2 (2\pi\nu)^2} \approx 0{,}21$ м